第十四届蓝桥杯国赛PythonB组B题【弹珠堆放】题解（AC）_第十四届蓝桥杯pythonb组

题意分析

将一个长度 $40$ 的数组 $A$ 拆成两份 $a,b$，设 $s_1,s_2$ 分别表示数组 $a,b$ 的和，求 $s_1\times s_2$ 的最大值。

我们来考虑一下，什么情况下可以使得 $s_1\times s_2$ 取得最大值。

设数组 $A$ 的和为 $s$，设数组 $a$ 的和为 $x$，那么数组 $b$ 的和就为 $s-x$，$s_1\times s_2=x\times (s-x)=x^2-sx$，函数大致如下：

当 $x=\frac{s}{2}$，$x\times (s-x)$ 取得最大值。

$x$ 约趋近于 $\frac{s}{2}$，结果越大。

所以，现在任务转换为，将数组 $A$，拆成两个子数组，要求两个数组的和要尽可能接近。

法一

通过 dfs 进行爆搜，编码难度较大，较容易出错。

法二

通过 dp 确认哪些和是可以被构建出来的。

设 $f[i][j]$ 表示前 $i$ 个数，能否凑出一个和为 $j$ 的数组。

考虑第 $i$ 个数，若对于某个 $f[i-1][j]$ 为 True：

• 不用第 $i$ 个数：前 $i-1$ 个数可以凑出 $j$，那么前 $i$ 个数也一定可以凑出 $j$，即 $f[i][j]=True$。
• 用第 $i$ 个数：用前 $i-1$ 个数可以凑出 $j$，那么前 $i$ 个数就可以凑出 $j+w[i]$，即 $f[i][j+w[i]=True$。

另外本题可进行空间优化。

• Python

import sys
sys.setrecursionlimit(1000000)
input = lambda:sys.stdin.readline().strip()

N = int(4e5 + 10)

a = [0, 5160, 9191, 6410, 4657, 7492, 1531, 8854, 1253, 4520, 9231, 1266, 4801, 3484, 4323, 5070, 1789, 2744, 5959, 9426, 4433, 4404, 5291, 2470, 8533, 7608, 2935, 8922, 5273, 8364, 8819, 7374, 8077, 5336, 8495, 5602, 6553, 3548, 5267, 9150, 3309]
n = 40

s = sum(a)
f = [[False for i in range(N)] for i in range(45)]

f[0][0] = True
for i in range(1, n + 1):
    for j in range(0, N - 1):
        if f[i - 1][j]:
            f[i][j] = f[i][j + a[i]] = True

t = s // 2
while not f[n][t]:
    t -= 1

print(t * (s - t))
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• Python（滚动数组）

import sys
sys.setrecursionlimit(1000000)
input = lambda:sys.stdin.readline().strip()

N = int(4e5 + 10)

a = [5160, 9191, 6410, 4657, 7492, 1531, 8854, 1253, 4520, 9231, 1266, 4801, 3484, 4323, 5070, 1789, 2744, 5959, 9426, 4433, 4404, 5291, 2470, 8533, 7608, 2935, 8922, 5273, 8364, 8819, 7374, 8077, 5336, 8495, 5602, 6553, 3548, 5267, 9150, 3309]

s = sum(a)
f = [False for i in range(N)]

f[0] = True
for x in a:
    for i in range(N - 1, 0 - 1, -1):
        if f[i]:
            f[i + x] = True

t = s // 2
while not f[t]:
    t -= 1

print(t * (s - t))
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运行结果：

12873625444
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