线性回归最小二乘法和梯度下降法_最小回归线

问题描述

首先我们定义问题，线性回归要解决的问题就是根据给出的数据学习出一个线性模型。
例如我们最常说的身高和体重的关系，以及房屋面积和房价的关系，这里给出一个瑞典汽车保险数据集
数据集 可以直接复制出来用
两列分别表示
索赔要求数量
对所有索赔的总赔付，以千瑞典克朗计
数据前五行

108 392,5
19  46,2
13  15,7
124 422,2
40  119,4
1
2
3
4
5

我们按照这个数据集作出图如下

大概观察一下可以用线性模型去定义，现在的问题是根据现有的这个数据集合，我们要学习出一个模型，然后给出索赔要求数量我们能够预测总赔付。
下面给出两种解决方法，并分析这两种方法区别。

最小二乘法

上面这个问题就是最简单的一元线性模型，首先看几个定义
分类问题 监督学习中，如果预测的变量是离散的，我们称其为分类（如决策树，支持向量机等）
回归问题如果预测的变量是连续的，我们称其为回归
一元线性回归分析中，如果只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。
多元线性如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。
对于二维空间线性是一条直线；对于三维空间线性是一个平面，对于多维空间线性是一个超平面

对于上面的数据集，我们可以用多条直线去拟合，那么怎么定义那一条直线是最优呢？

首先定义模型：
其中ei为样本误差

定义损失函数：

上面是损失函数，我们现在目的使得损失函数尽可能的小，就是求如上Q的最小值，函数求极值问题，这里就用到了导数，导数的意义是导数大于0的x处函数递增，导数小于0处x的函数递减，导数为0既为函数的极值点

上面x和y都是已知的数据集，β是我们要求的结果，两个函数两个未知数，就可以解方程了。

证明也很简单，这里给个证明的链接,剩下就是几次求和的事儿了。

多元线性回归

首先我们假设模型：

而对于数据集合中n个个体，每个模型有：

表示成矩阵形式：

跟一元的一样，首先我们损失函数：

同样通过求偏导数为0解方程可以得到结果：