最优二叉查找树详解（算法导论学习笔记）_最优二叉搜索树问题最优值递归定义

代码均未经过严格测试，仅供参考

最优二叉查找树

动态规划原理

动态规划与分治法相似，都是通过组合子问题的解来求解原问题。

动态规划通常是用来求解最优化问题（optimization problem）.这类问题可以有很多个可行解，每个解都有一个值，我们希望寻找最优值（最大值或者最小值）的解。我们称这样的解为问题的一个最优解（oneoptimization solution）而不是最优解（theoptimization solution），因为可能有多个解都达到最优值。

通常按照如下四个步骤来设计一个动态规划算法：

1. 刻画一个最优解的结构特征；
2. 递归地定义最优解的值；
3. 计算最优解的值，通常采用自底向上的方法；
4. 利用计算出的线性构造一个最优解。

基本概念

• 平均查找长度ASL——查找方法时效的度量：为确定记录在查找表中的位置，需将关键字和给定值比较次数的期望值。

• 查找成功时的ASL计算方法：ASL=$\sum_{i=0}^n Pi*Ci$

  n：记录的个数
  pi：查找第i个记录的概率
  ( 不特别声明时认为等概率 pi =1/n )
  ci：找到第i个记录所需的比较次数
  约定：无特殊说明，一般默认关键字的类型为整型

• ASLs：(查找成功的的平均查找长度)

• ASLf：(查找失败的平均查找长度)

关于静态最优查找树

定义：查找性能最佳的判定树。

性质：带权内路径长度之和PH为最小值。

$PH=\sum_{i=1}^n(Wi*Hi)$ 与ASLs成正比
其中n：二叉树上结点的个数(有序表长度)
Hi：第i个结点在二叉树上的层次数
Wi=c*pi：c为某个常量；
pi：第i个结点的查找概率

问题描述

给定n个不同关键字的已经排序的序列$k_1,k_2,k_3...k_n$我们希望用这些关键字构造一颗二叉搜索树，对每个关键字都有一个概率p表示其搜索频率。有些要搜索的值可能不在K中，因此我们还有n+1个”伪关键字”$d_0,d_1,d_2...d_n$其中$d_0$表示所有小于$k_1$的值，$d_n$表示所有大于$k_n$的值，对于$i=1,2,3,4...n-1,d_i表示所有在k_i到k_{i+1}之间的值$。对每个伪关键字$d_i$也都一个概率$q_i$表示对应的搜索频率。每个关键字$k_i$是一个内部节点，每一个关键字$d_i$表示一个叶节点。有$\sum_{i=1}^n{p_i}+\sum_{i-1}^n{q_i}=1$

最优查找体现的原则：

1）最先访问的结点应是访问概率最大的结点；
2）每次访问应使结点两边尚未访问的结点的被访概率之和尽可能相等。

关于次优查找树

PH值近似为最小
比静态最优查找树易于构造，时间开销少

首先按照权值升序排列，每一次选择一个，右边所有节点权值相加和减去左边节点权值相加和 最小的节点作为根节点，然后以左边节点作为左子树，右边节点作为右子树，分别构造其次优查找树。

复杂度分析以及可能的优化

很显然由于需要枚举区间长度，区间端点以及根节点。所以算法复杂度为$O(n^3)$

递推式的形式为$dp[i][j]=min(dp[i][r-1]+dp[r+1][j]+sum[i][j])$

可以考虑用四边形不等式优化。

算法实现

次优查找树的实现非常简单，一个数组存储每个节点的权值。计算前缀和，找到差值最大的点作为根节点后。递归构造左子树和右子树的次优查找树。

我们来尝试使用动态规划算法构造最优查找树

double p[MAXN];//用来记录每一个节点的查找概率
double q[MAXN];//用来记录伪关键字的搜索概率
double dp[MAXN][MAXN];//dp[i][j]表示从节点i到节点j构成的最优查找树的PH值的最小值
int root[MAXN][MAXN];//root[i][j]表示从节点i到节点j构成的最优查找树的根节点
double sum[MAXN][MAXN];//sum[i][j]表示区间i到j的的区间概率和

//伪代码如下
for(int 子树大小 len=1;len<=n;len++){
    for(int 子树起点 i=1;i<n-len+1;i++){
        int 子树的终点则为j=i+len-1
        然后试图用每个节点作为根节点，找到使得总代价最小的一个
        总代价为左右子树的代价相加+区间的概率和。因为每一个节点都往下移了一层
        for(int r=i;r<=j;r++){
            dp[i][j]=min(dp[i][r-1]+dp[r+1][j]+sum[i][j]);
            并更新对应的根节点的值
        }
    }
}
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记录了每个区间的PH值和根节点之后，再递归还原出整课最优查找树即可。

代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <string>
#include <vector>
#include <map>
#include <set>
using namespace std;

#define _ sync_with_stdio(false)
typedef long long ll;
const int MAXN=1000+10;
const double INF=1e9+7;


int n;//节点总个数
double p[MAXN];//用来记录每一个节点的查找概率
double q[MAXN];//用来记录伪关键字的搜索概率
double dp[MAXN][MAXN];//dp[i][j]表示从节点i到节点j构成的最优查找树的PH值的最小值
int root[MAXN][MAXN];//root[i][j]表示从节点i到节点j构成的最优查找树的根节点
double sum[MAXN][MAXN];//sum[i][j]表示区间i到j的的区间概率和

void solve(){
    for(int len=1;len<=n;len++){
        for(int i=1;i<=n-len+1;i++){
            int j=i+len-1;
            dp[i][j]=INF;
            for(int r=i;r<=j;r++){
                double temp;
                temp=dp[i][r-1]+dp[r+1][j]+sum[i][j];
                if(temp<dp[i][j]){
                    root[i][j]=r;
                    dp[i][j]=temp;
                }
            }
        }
    }
}

void init(){
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<=n;j++){
            if(j==i-1){
                sum[i][j]=q[i-1];
                dp[i][j]=q[i-1];
            }
            else if(j>=i){
                sum[i][j]=sum[i][j-1]+p[j]+q[j];
                if(i==j){
                    //dp[i][j]=p[i]+q[i-1]+q[i];
                    root[i][j]=i;
                }
                dp[i][j]=0;
            }else{
                sum[i][j]=0;
                dp[i][j]=0;
            }
        }
    }
    sum[n+1][n]=dp[n+1][n]=q[n];

}

void dfs(int l,int r){
    if(l>r){
        cout<<"{}";
        return;
    }
    cout<<root[l][r];
    int Root=root[l][r];
    cout<<"{";
    dfs(l,Root-1);
    cout<<",";
    dfs(Root+1,r);
    cout<<"}";
    return;
}

int main(){
    freopen("in.txt", "r", stdin);
    cout<<"请输入待查找关键字的数量:"<<endl;
    cin>>n;
    cout<<"请输入"<<n<<"个待查找关键字的搜索频率:"<<endl;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>p[i];
    }
    cout<<"请输入"<<n+1<<"个伪关键字的搜索频率:"<<endl;
    for(int i=0;i<=n;i++){
        cin>>q[i];
    }
    init();
    solve();
    cout<<"最小PH值为:"<<dp[1][n]<<endl<<"最优查找树构造如下:"<<endl;
    dfs(1,n);
    return 0;
}
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