机器学习 扬帆起航004-02评估假设与比较检验_1.96 2.58

评估假设部分看的《机器学习-Mitchell》比较检验部分还是周志华老师的《机器学习》。

不保证我自己理解的都对，这篇算是笔记的整理吧！

一、评估假设

估计偏差和估计方差

估计偏差

我们知道训练误差和测试误差，如果只有一个数据集，拿着它去喂我们的模型，然后拿它再去测试模型会出现一种看上去指标很高，但是很假的情况，总之就是模型看上去很“乐观”。所以我们通常会分出一部分来当做未来数据，这样我们可以都对未来的数据做一个无偏估计。

估计方差

继续上一段的话，如果我们两次得到错误率为0.3，一次样本数量100个一次是10000个，那么你能说这俩个0.3是一样的吗，很明显10000个样本的显得更真实。结论是我们使用的样本越多估计方差越小。

样本错误率和真实错误率

**样本错误率：**在某个数据样本的假设错误率。
$$error{s}_s(h)=\frac{1}{n}\sum _{x\in S}\delta (f(x),h(x))$$
例子，如果10个数据，3个测试为负例，那么就是3/10=0.3。

**真实错误率：**分布在D的整个实例集合上的假设错误率。
$$error{s}_D(h)=\underset{x\in D}{\mathrm{Pr}}[f(x)\ne h(x)]$$
按这种分布不断进行随机试验，最后得到的分错的样本数/总的样本数。

离散值假设的置信区间

上面说了很多看上去没啥用的话，从这才算开始，我们评估的时候更想要的是真实错误率而不是样本错误率，而真实错误率我们通常是得不到的，所以我们就要用样本错误率去代替它，当然不能直接代替。

引入置信区间置信度（学过高数应该了解这个词，没学过假装一下，有这么个名词就行了）。假设大约有95%（置信度）的可能性，真实错误率存在于下面的区间中：
$$error{s}_D(h):error{s}_S(h)\pm 1.96\sqrt{\frac{error{s}_s(h)(1-error{s}_s(h))}{n}}$$
n是样本数，1.96对应95%，为什么是1.96，因为我们有一张被规定好的表告诉了我们怎么转换：

上面公式使用有几个前提，也就是说有些时候我们是无法将样本错误率转化为真实错误率的。

前提：

①样本数量也就是n至少为30。

②样本错误率不能太接近0或1。

正态分布代替二项分布

二项分布

直接上例子吧，好理解

10个样本3个分错

分对，分错的概率P®分别为0.7,0.3

X的期望：
$$E[X]=np$$
例子=10*0.7=7

X的方差：
$$Var(X)=np(1-p)$$
X的标准差：
$${\sigma }_X=\sqrt{np(1-p)}$$
我们已得的随机变量样本错误率服从二项分布，再次回到前面的问题，这俩个错误率之前的差异是多少呢？如果我们用二项分布的话那么重新定义：
$$error{s}_s(h)=\frac{r}{n}$$

$$error{s}_D(h)=p$$

在统计学中，我们称样本错误率为真实错误率的一个估计量，如果要用他，我们就要关心下他的平均数能不能产生正确的估计，于是定义了任意参数p的估计量Y的估计偏差：
$$E[Y]-p$$
如果估计偏差为0，我们称Y为p的无偏估计量。

以上便是二项分布有关问题，下面开始转换

对于给定N如何计算区间大小以及包含N%的概率质量？对于二项分布来说，这是很繁琐的，虽然大多情况下，我们用了近似值，而且他要求我们要有足够大的样本。二项分布可以有正态分布来近似，为什么选择正态分布，原因还有很多，这里不一一解释了。

概率密度函数：
$$p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{e}^{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu }{\sigma }{)}^2}$$
X落入[a，b]概率：
$${\int }_a^{b}p(x)dx$$
X的期望/均值：
$$E[X]=\mu$$
X的方差：
$$Var(X)={\sigma }^2$$
X的标准差：
$${\sigma }_X=\sigma$$

单双侧置信区间(置信度为α)

上面我们使用的置信区间均为双侧的，某些情况下我们需要用单侧的。

如果有一个含上界L和下界U的双侧置信区间为100(1-α)%，那么可以得到一个只含下界或只含上界的100(1-2α)%的单侧置信区间。

二、比较检验

交叉验证t检验

k折

对于学习器A和B，使用k折交叉验证得到的错误率为
$${\epsilon }_1^A，{\epsilon }_2^A，...{\epsilon }_k^A和{\epsilon }_1^B，{\epsilon }_2^B，...{\epsilon }_k^B$$
如果两个学习器性能相同，那么k个对应的ε都应该相同，也就是说：
$${\epsilon }_i^A={\epsilon }_i^B$$
建立一个式子：
$${△}_i={\epsilon }_i^A-{\epsilon }_i^B$$
对于k个△组成的列表，求得其均值μ和方差σ^2，在显著度α下，t检验为：
$$T_t=|\frac{\sqrt{k}\mu }{\sigma }|$$
当它小于临界值**t（α/2，k-1）**时，认为两个学习器没有显著性区别，否则平均错误率小的优。

加粗部分：有了显著度的α/2，k-1，根据对照表（可自行查阅）可以得到一个临界值。

n次k折

t检验公式定义做了一些改变，以5次2折交叉验证为例（n=5，k=2）

对于A和B两个学习器，第 i 次2折交叉验证产生两对错误率，对他们分别求差，得到第1折第2折插值
$${△}_i^1和{△}_i^2$$
计算第一次（注意看好，只求第一次的）k折交叉验证的平均值
$$\mu =0.5({△}_1^1+{△}_1^2)$$
计算每一次k折交叉验证的方差
$${\sigma }^2=({△}_i^1-\frac{{△}_i^1+{△}_i^2}{2}{)}^2+({△}_i^2-\frac{{△}_i^1+{△}_i^2}{2}{)}^2$$
t检验公式转化为：
$$T_t=\frac{\mu }{\sqrt{0.2{\sum }_{i=1}^5{\sigma }_i^2}}$$
服从自由度为5的t分布，检验方式如上。

McNemar检验

对于两分类器的分类结果，两两对比无非就是俩都对，俩都错，你对我错，你错我对，根据这个关系，我们得到一个表，名为列联表：

变量|e10-e01|服从正态分布，均值为1，方差为e10+e01，卡方检验为：
$$T{x}^2=\frac{(|e10-e01|-1{)}^2}{e10+e01}$$
服从自由度为1的卡方分布，给定显著度α，比较检验结果和临界值，小于临界值时，两个学习器性能差别不显著。否则平均错误率小的优。

Friedman检验和Nemenyi后续检验

Friedman检验

前面的两个检验都是在一个数据集比较两个算法，如果我们需要比较多个数据集多个算法是肿么办呢？

这就要用到这个小节了：

如果我们此时得到了五个数据集在四个算法上的指标，我们按照优劣排序1,2,3,4。

然后得到平均序值。

得到：
r i = { 3.6 , 3.2 , 2 , 1.2 } r_i=\{3.6,3.2,2,1.2\} ri​={3.6,3.2,2,1.2}
n：数据集个数，k：算法个数

卡方分布
$$T_{x^2}=\frac{12n}{k(k+1)}(\sum _{i=1}^k{r}_i^2-\frac{k(k+1{)}^2}{4})$$
F分布
$$T_f=\frac{(n-1)T_{x^2}}{n(k-1)-T_{x^2}}$$
Tf服从自由度为k-1和(k-1)(n-1)的F分布，根据对照表的临界值，对比检验结果，方法如上。当算法性能不同时引入Nemenyi后续检验。

Nemenyi后续检验

首先计算出平均序列差别的临界值域
$$CD=q_{\alpha }\sqrt{\frac{k(k+1)}{6n}}$$
k和n都是已知量，那么还剩下一个qα值，这个值和检验一样需要对照一个表，根据显著度和算法个数k得到：

（软件问题，可能画的不好）

然后得到如下一个检验图

**解释：**每一条线长度相同都是CD的大小，也就是临界值域，每一个点对应每个算法的平均序值。

**这个图怎么看：**如果两个算法的线段没有交叠，那说明两个算法有显著性区别；如果有交叠，说明两个算法没有显著差别。如果有差别的话，点对应的x值，也就是平均序值越小，算法性能越好。