【考研数学】函数、极限、连续_cosh2x-1

【考研数学】函数、极限、连续

（一）函数

• 定义域、邻域
• 认识基本函数：幂、指、对、三角、反三角
• 复合函数、显函数、隐函数（⚠️隐函数的条件）
• 函数的有界性、上下界、上下确界

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1、狄利克雷函数

注意狄利克雷函数的黎曼不可积性。它在很多地方可以作为一个反例。
KaTeX parse error: No such environment: equation at position 8: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲}̲ D(x) = \begin…

• 周期函数不一定具有最早正周期

2、双曲函数

我是学通信的，复习到这个，就多留意了一点。
KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ sinh(x) &=…
容易联想到两个公式：
KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ sin(x) &= …
公式(3)在信号与系统中经常看到，比如计算sin(x)的傅立叶变换的时候，可以先转化成复指数的形式。公式(4)是一个经典的积分公式，要记。

• 双曲函数有对应的恒等式，和三角恒等式相似
• 双曲函数在UESTC的教材里写作sh、ch、th，对应wikipedia的sinh、cosh、tanh
• 反双曲函数前缀为ar，区别于反三角函数的arc

3、heaviside函数

就是单位阶跃函数，在x=0处函数发生了跳变，heaviside函数的导函数为单位冲激函数。在信号处理领域应用极广。
KaTeX parse error: No such environment: equation at position 8: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲}̲ u(x)= …

（二）极限

• 极限的三种定义$(ϵ-N)$、$(ϵ-\delta )$、$(ϵ-X)$，留意这三种定义对应的情况
• 极限的唯一性、局部有界性、局部保号性、列与子列的关系
• 无穷小、等价无穷小
• 夹逼准则、单调有界有极限

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1、定义

极限定义分为三种：

• 第一种数列极限，考虑当n趋近于无穷大(比任意N>0还要大)的时候，保证数列趋近于某个常数，比如$x_n=\frac{1}{n}$
• 第二种函数极限，考虑当x趋近于$x_0$的时候，保证函数值趋近于某个常数，数学上用和$x_0$的距离比任意小$\delta$还小来刻画x趋近于$x_0$
  • 注意，在一维情况下，x从正负两个方向趋近于$x_0$，在二维的情况下，(x,y)从360˚趋近于($x_0,y_0$)
• 第三种也是函数极限，考虑当x趋近于无穷大(比任意X>0还要大)的时候，此时需要保证，函数值趋近于某个常数

2、性质

• 唯一性：趋近于同一个自变量的时候，函数值只能趋近于同一个常数。一维情况下，左边趋近叫左极限，右边趋近叫右极限，左右极限存在且相等是极限存在的充要条件。
• 有界性：从定义加粗部分可知极限的唯一性和有界性。
• 保号性：极限的去心邻域内的函数值和极限同号。函数符号确定对应极限的符号就确定了。函数之间的大小关系确定了，对应极限的大小关系就确定了。
• 子列的极限和列的极限相同。

3、无穷小和等价无穷小

明确几个概念：
同阶无穷小：两个无穷小趋近于的速度相仿，比值为一个常数
等价无穷小：同阶无穷小的特殊情况，比值为1
高阶、低阶无穷小：趋近于零的速度快的相对于慢的称为高阶无穷小，反之为低阶无穷小

注意⚠️：

• 等价无穷小替换，只能替换乘除，不能替换加减
• 放在分母位置的无穷小不能等于0

• 熟记以下几个等价无穷小
  1. $x\sim sin(x)\sim tan(x)\sim arcsin(x)\sim arctan(x)$
  2. $1-cos(x)\sim \frac{1}{2}{x}^2$
  3. $tan(x)-sin(x)\sim \frac{1}{2}{x}^3$
  4. $\sqrt[n]{1+x}-1\sim \frac{x}{n}$
  5. $ln(1+x)\sim x\sim e^x-1$
• 会推导下列几个等价无穷小
  1. $arsinh(x)=ln(x+\sqrt{1+x^2})\sim x$
  2. $sin(x)-sin[sin(x)]\sim x-sin(x)\sim \frac{1}{6}x$
  3. $arcsin(x)-x\sim \frac{1}{6}{x}^3$
  4. $x-arctan(x)\sim \frac{1}{3}{x}^3$

（三）连续

1. 连续的三种定义、两类间断点
2. 连续的性质：有界性、保号性、运算性质
3. 介值定理、最值定理、根的存在性定理

1、定义

前提：讨论连续，都是在某点的邻域里讨论的，非去心邻域，所以函数在邻域$U(x_0)$一定要有定义

• 第一种：${\lim }_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$

• 第二种：$\forall ϵ>0,\exists \delta >0\Rightarrow 当|x-x_0|<\delta ,|f(x)-f(x_0)|<ϵ恒成立$

• 第三种：$\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = 0 $

注意：前两种定义，本质上是同一个定义，只是描述语言不一样；第三种定义，在后面学习微分理论的时候，很有意义

间断点:

链接为wiki百科，主要是受不了百度百科开头那个视频，每个词条都有视频，还自动播放，太恶心了