数据结构-6_输出无向图g中从顶点vi到vj的长度为length

第6章 图

6.1 图的逻辑结构

图的定义

图是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为：
G=(V，E)
其中：G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中顶点之间边的集合。
在线性表中，元素个数可以为零，称为空表；
在树中，结点个数可以为零，称为空树；
在图中，顶点个数不能为零，但可以没有边。

若顶点vi和vj之间的边没有方向，则称这条边为无向边，表示为(vi,vj)。
如果图的任意两个顶点之间的边都是无向边，则称该图为无向图。
若从顶点vi到vj的边有方向，则称这条边为有向边，表示为<vi,vj>。
如果图的任意两个顶点之间的边都是有向边，则称该图为有向图。

图的基本术语

简单图：在图中，若不存在顶点到其自身的边，且同一条边不重复出现。
邻接、依附
无向图中，对于任意两个顶点vi和顶点vj，若存在边(vi，vj)，则称顶点vi和顶点vj互为邻接点，同时称边(vi，vj)依附于顶点vi和顶点vj。
在线性结构中，数据元素之间仅具有线性关系；
在树结构中，结点之间具有层次关系；
在图结构中，任意两个顶点之间都可能有关系。
无向完全图：在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图。
有向完全图：在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向相反的两条弧，则称该图为有向完全图。
稀疏图：称边数很少的图为稀疏图；
稠密图：称边数很多的图为稠密图。
顶点的度：在无向图中，顶点v的度是指依附于该顶点的边数，通常记为TD (v)。
顶点的入度：在有向图中，顶点v的入度是指以该顶点为弧头的弧的数目，记为ID (v)；
顶点的出度：在有向图中，顶点v的出度是指以该顶点为弧尾的弧的数目，记为OD (v)。


权：是指对边赋予的有意义的数值量。
网：边上带权的图，也称网图。
路径：在无向图G=(V, E)中，从顶点vp到顶点vq之间的路径是一个顶点序列(vp=vi0,vi1,vi2, …, vim=vq)，其中，(vij-1,vij)∈E（1≤j≤m）。若G是有向图，则路径也是有方向的，顶点序列满足<vij-1,vij>∈E。

路径长度：
非带权图——路径上边的个数
带权图——路径上各边的权之和

回路（环）：第一个顶点和最后一个顶点相同的路径。
简单路径：序列中顶点不重复出现的路径。
简单回路（简单环）：除了第一个顶点和最后一个顶点外，其余顶点不重复出现的回路。
子图：若图G=（V，E），G’=（V’，E’），如果V’V 且E’  E ，则称图G’是G的子图。
连通图：在无向图中，如果从一个顶点vi到另一个顶点vj(i≠j)有路径，则称顶点vi和vj是连通的。如果图中任意两个顶点都是连通的，则称该图是连通图。
连通分量：非连通图的极大连通子图称为连通分量。
强连通图：在有向图中，对图中任意一对顶点vi和vj (i≠j)，若从顶点vi到顶点vj和从顶点vj到顶点vi均有路径，则称该有向图是强连通图。
强连通分量：非强连通图的极大强连通子图。
生成树：n个顶点的连通图G的生成树是包含G中全部顶点的一个极小连通子图。
生成森林：在非连通图中，由每个连通分量都可以得到一棵生成树，这些连通分量的生成树就组成了一个非连通图的生成森林。

图的遍历操作

图的遍历是从图中某一顶点出发，对图中所有顶点访问一次且仅访问一次。

图的遍历操作要解决的关键问题

① 在图中，如何选取遍历的起始顶点？
解决方案：从编号小的顶点开始 。
在线性表中，数据元素在表中的编号就是元素在序列中的位置，因而其编号是唯一的；
在树中，将结点按层序编号，由于树具有层次性，因而其层序编号也是唯一的；
在图中，任何两个顶点之间都可能存在边，顶点是没有确定的先后次序的，所以，顶点的编号不唯一。
为了定义操作的方便，将图中的顶点按任意顺序排列起来，比如，按顶点的存储顺序。

② 从某个起点始可能到达不了所有其它顶点，怎么办？
解决方案：多次调用从某顶点出发遍历图的算法。

③ 因图中可能存在回路，某些顶点可能会被重复访问，那么如何避免遍历不会因回路而陷入死循环?
解决方案：附设访问标志数组visited[n] 。

④ 在图中，一个顶点可以和其它多个顶点相连，当这样的顶点访问过后，如何选取下一个要访问的顶点？
解决方案：深度优先遍历和广度优先遍历。

1. 深度优先遍历 （DFS：Depth First Search）
   基本思想 ：
   ⑴ 访问顶点v；
   ⑵ 从v的未被访问的邻接点中选取一个顶点w，从w出发进行深度优先遍历；
   ⑶ 重复上述两步，直至图中所有和v有路径相通的顶点都被访问到。

2. 广度优先遍历 （BFS：Broad First Search ；FIFO: First In First Out）
   基本思想：
   基本思想：
   ⑴ 访问顶点v；
   ⑵ 依次访问v的各个未被访问的邻接点v1, v2, …, vk；
   ⑶ 分别从v1，v2，…，vk出发依次访问它们未被访问的邻接点，并使“先被访问顶点的邻接点”先于“后被访问顶点的邻接点”被访问。直至图中所有与顶点v有路径相通的顶点都被访问到。

6.2 图的存储结构及实现

邻接矩阵（数组表示法）

基本思想：
用一个一维数组存储图中顶点的信息
用一个二维数组（称为邻接矩阵）存储图中各顶点之间的邻接关系。
假设图G＝(V，E)有n个顶点，则邻接矩阵是一个n×n的方阵，定义为：

邻接矩阵存储无向图的类

const int MaxSize=10; 
template <class T>
class Mgraph{
   
   public:
      MGraph(T a[ ], int n, int e );   
       ~MGraph( )
       void DFSTraverse(int v); 
       void BFSTraverse(int v);
        ……
   private:
       T vertex[MaxSize]; 
       int arc[MaxSize][MaxSize]; 
       int vertexNum, arcNum; 
};

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邻接矩阵中图的基本操作——构造函数

template <class T>
MGraph::MGraph(T a[ ], int n, int e) {
   
    vertexNum=n; arcNum=e;
    for (i=0; i<vertexNum; i++) 
        vertex[i]=a[i];
    for (i=0; i<vertexNum; i++)    //初始化邻接矩阵
	   for (j=0; j<vertexNum; j++)
           arc[i][j]=0;             
    for (k=0; k<arcNum; k++) {
   
        cin>>i>>j;     //边依附的两个顶点的序号
        arc[i][j]=1;  arc[j][i]=1;  //置有边标志    
    }
}
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邻接矩阵中图的基本操作——深度优先遍历

int visited[MaxSize];
template <class T>
void MGraph::DFSTraverse(int v){
   
     cout<<vertex[v]; visited [v]=1;
     for (j=0; j<vertexNum; j++)
         if (arc[v][j]==1 && visited[j]==0)
            DFSTraverse( j );
}
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邻接矩阵中图的基本操作——广度优先遍历

int visited[MaxSize];
template <class T>
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