实时环境光照(预计算辐射传输)------计算机图形学高质量实时渲染(五)_计算的太阳辐射传输模型和实际的不一样

实时环境光照（预计算辐射传输）

本课目录：

讨论：环境光照下的阴影怎么获得？

我们在上节课讲述了如何不采样去计算不考虑Shadow时的Shading值，那么在有了环境光照情况下如何去得到物体被环境光照射下生成的阴影呢？

严格意义上讲，这是不可能完成的事，因为以目前的技术来说是很难实现的，要从两个角度考虑来说：

• 1.many light问题：
  我们把环境光理解为很多个小的光源，这种情况下去生成阴影的话，需要在每个小光源下生成shadow map，因此会生成线性于光源数量的shadow map，这是十分高昂的代价。

• 2.sampling的问题：
  在任何一个shading point上已知来自正半球方向的光照去解rendering equation，最简单的方法是采样空间中各个方向上不同的光照，可以做重要性采样，虽然做了重要性采样，但是仍需要大量的样本，因为最困难的是visibility term。由于shading point不同方向上遮挡时不同的，我们可以对环境光照进行重要性采样，但是一个sp周围的visibility项是未知的，因此我们只能盲目的去采样（我个人对盲目采样的理解是，为了确保准确性需要对sp各个方向的遮挡进行采样，因此仍然会生成大量的样本）。我们也无法提取出visibility项，因为如果是glossy brdf，他是一个高频的，且lighting项的积分域是整个半球，因此并不满足smooth或small support，因此无法提取出visibility项。

在工业中，我们通常以环境光中最亮的那个作为主要光源，也就是太阳，只生成太阳为光源的shadow。

1.做的是全局光照部分产生的shadow

2.解决的是离线渲染中的many lights的问题，核心思想是把反射物当做小光源，把所有的小光源做一下归类并近似出照射的结果。

3.Realtime Raytracing，可能是最终的解决方案

4.PRT可以十分准确的得到来自环境光中的阴影。

但是我们知道世上没有十全十美的事情。

根据傅里叶变换的知识可以知道，对于任意的product integral（两个函数先乘积再积分），我们将其认为是做了一个卷积操作，理解为spatial域上的两个信号f(x)和g(x)进行一个卷积，等于在频域上让两个信号相乘，如果两个信号有一个信号是低频的，那么频域上相乘后得到的结果也是低频的，最终相乘再积分的结果也是低频的，可以总结为：积分后的频率取决于积分前最低的频率，即the frequency of the integral is the lowest of any individual’s。
低频意味着变换更加的smooth 或者有着slow的变化。

基函数

把一个函数可以描述成其他函数的线性组合，如f(x)可以描述成一系列的Bi函数乘以各自对应的系数最终再相加在一起，这一系列的函数Bi就是基函数。

回归正题，我们要讨论的是如何在环境光照下生成阴影，要从最简单的开始，如果给了你环境光和一个diffuse的物体，在不考虑shadow的情况下如何去计算shading的值。

为了计算shading的值，我们引入数学工具------>>>>>Spherical Harmonics（球谐函数）
在游戏渲染中，SH有很多应用，比如SH可以用来表示低频部分的环境光照，也可以用来提供light probe（光照探针）的烘焙光照等。

Spherical Harmonics（球谐函数）

SH是一系列基函数，系列中的每个函数都是二维函数，并且每个二维函数都是定义在球面上的。

• 1.它是一系列的基函数，可以以傅里叶变换为参考，与里面不同频率的cos和sin函数类似，只是全都是二维函数。

• 2.因为它是定义在球面上的，球面上会有不同的值，由于在球面上两个角度θ和φ就可以确定一个方向了，因此可以理解为是对方向的函数，通过两个角度变量从而知道这一方向对应在球面上的值。
  下图是对SH的可视化，与一维傅里叶一样，SH也存在不同频率的函数，但是不同频率的函数个数也不同，频率越高所含有的基函数越多。

图中的颜色表示的是值的大小，I=0中，越偏白的蓝色地方值越大，越黑的地方值越小，而黄色中则表示偏白的地方其绝对值大，偏黑的地方表示绝对值小，也就是蓝色表示正，黄色表示负。

频率表示的就是值的变化，因此可以很清晰的从形状看出。

其中，L表示的是阶数，通常第L阶有2L+1个基函数，前n阶有n²个基函数，m表示的是在某一个频率下基函数的序号，分别从-L一直到L。每个基函数都有一个比较复杂的数学表示，对应一个legendre多项式，我们不用去了解legendre多项式，我们只需要知道基函数长这样，可以被某些数学公式来定义不同方向的值是多少就可以了。

球面谐波函数的一些操作

下面定义一些操作：

投影：

由于一个函数f(w)可以由一系列基函数和系数的线性组合表示，那么怎么确定基函数前面的系数，这就需要通过投影操作：

我们知道函数f(x)，通过对应的基函数B(i)进行投影操作，从而求出各基函数对应的系数Ci，与以下操作是同一个道理，在空间中想描述一个向量，可以xyz三个坐标来表达，把xyz轴当做三个基函数，把向量投影到xyz轴上，得到三个系数就是三个坐标。

重建：

知道基函数对应的系数，就能用系数和基函数恢复原来的函数
由于基函数的阶可以是无限个，越高的阶可恢复的细节就越好，但一方面是因为更多的系数会带来更大的存储压力、计算压力，而一般描述变化比较平滑的环境漫反射部分，用3阶的SH就足够了；另一方面则是因为SH的物理含义并不是很好理解， 高阶SH容易出现各种花式Artifact（失真），美术同学一般都认为这种表现属于bug。

f(w)可以是任何一个函数，我们说过基函数可以重建任何一个球面函数，那么我们这里的f(w)就是环境光照，由于环境光是来自于四面八方且都有值，所以环境光照就是一个球面函数，我们可以把它投影到任何一个SH basis上，可以投影很多阶，但是只需要取前三阶的SH去恢复环境光就可以恢复出最低频的细节了，这个在下文RAVI教授的结论中有提到。
这里补充一些球谐函数的性质：

正交性：能够较简单地重建/投影，simple rotation

旋转是一个很重要的性质：
旋转一个基函数之后，得到的函数就不再是一个基函数（因为基函数有严格的朝向等限制），但是旋转球谐函数等价于同阶基函数的线性组合。

Ravi教授等人在01年左右做过一些实验发现，diffuse BRDF类似于一个低通滤波器，使用一些低频信息就可以恢复出原始内容。回忆一下，在本文之前的内容中曾说过：“积分之后的频率取决于积分前最低的频率”，当diffuse BRDF使用低频信息即可恢复内容时，也就意味着无论多少光照项是多么复杂，其本应该用多高频的基函数去表示，但是我们希望得到的是其与BRDF之积的积分。所以可以使用比较低频的基函数去描述灯光，下面的实验结果意味着，遇到diffuse的物体时使用前3阶的球谐基函数就可以基本重建出正确率99%的结果。

到目前为止，这里只解决了如何根据环境光照进行shading，主要说明球谐函数的作用，仍没考虑shadow问题，接下来我们要解决两个问题：
1.将shadow考虑进去。
2.我们仍然用基函数思路去考虑任何的brdf
解决思路就是PRT，接下来我们进入PRT学习：

PRT(预计算辐射传输模型)

在实时渲染中，我们把rendering equation写成由三部分组成的积分：

光照项light，visibility项和brdf项，这三项都可以描绘成球面函数。

这里用的是cube map描述法，那么最简单的解这个方程的方法就是每个像素挨个去乘，假设环境光是66464的map，对于每个shading point来说，计算shading 需要计算66464次，这个开销是非常大的。

因此我们利用基函数的基本原理把一些东西预计算出来，从而节省开销。

PRT的基本思想：

我们把rendering equation分为两部分，lighting 和light transport。

假设在渲染场景中只有lighting项会发生变化（旋转，更换光照等），由于lighting是一个球面函数，因此可以用基函数来表示，在预计算阶段计算出lighting。

而light transport（visibility和brdf）是不变的，因此相当于对任一shading point来说，light transport项固定的，可以认为是shading point自己的性质，light transport总体来说还是一个球面函数，因此也可以写成基函数形式，是可以预计算出来的。

我们分为两种情况，diffuse和glossy。

Diffuse：

PRT主要是来进行diffuse物体的环境光表示，因为球谐函数主要表示低频的。两阶进行还原，这是育碧的结论。

由于在diffuse情况下，brdf几乎是一个常数，因此我们把brdf提到外面。

对于积分中的部分来说，Bi是基函数，v和cos项在一起不就是light transport吗，那就不是light transport乘与一个基函数，这就成了lighting transport投影到一个基函数的系数，接下来代入不就能进行预计算了吗，这样就只要算一个点乘就好了。

之所以说是点乘，结果是个求和，我们要计算L1T1+L2T2+…，不正好相当于两个向量点乘?
所以对于任何一个shading point我们去算他的shading 和shadow，只要计算一个点乘就可以了，十分方便。

但是，没有免费的晚餐，代价是什么？
1.light transport 做了预计算，因此visibility当了常量，因此场景不能动，因此只能对静止物体进行计算。
2.对于预计算的光源我们把它投影到SH上，如果光源发生了旋转，那就不相当于换了个光源吗？
但是对于第二个问题，由于SH函数的旋转不变性可以完美解决。
旋转光照 = 旋转SH的基函数
但，任何一个SH基函数旋转后都可以被同阶的SH基函数线性组合表示出来。
因此，我们根据这个性质，还是可以立刻得出旋转后的SH基函数新的线性组合。


用的阶数越多越接近于原始函数，第四张图是前26阶函数去重建原始函数，可以看到效果还不错，但我们在使用时用不到那么多阶。

我们将lighting这个球面函数，通过SH的基函数用一堆系数来表示，这些系数排成了一行也就是组成了向量，因此光照变成了一个向量。
如果要重建原函数则只需要把这些系数乘以对应的基函数再加在一起即可。

我们可以把Bi理解为lighting，也就是说每个basis所描述的环境光去照亮这个物体，从而得到照亮之后的结果，我个人理解预计算是就是把每个basis照亮得到的结果生成。

最后我们在计算shading和shadow时只需要进行向量li和ti的点乘即可得到结果。
到此我知道了在已知环境光的情况下，通过使用prt来计算出diffuse物体的shading和shadow。