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梯度下降

一、梯度下降的定义

梯度（gradient）是一个向量（矢量，有方向），表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值，即函数在该点处沿着该方向（此梯度的方向）变化最快，变化率最大.损失函数沿梯度相反方向收敛最快（即能最快找到极值点）.当梯度向量为零（或接近于零），说明到达一个极值点，这也是梯度下降算法迭代计算的终止条件.

这种按照负梯度不停地调整函数权值的过程就叫作“梯度下降法”.通过这样的方法，改变权重让损失函数的值下降得更快，进而将值收敛到损失函数的某个极小值.

通过损失函数，我们将“寻找最优参数”问题，转换为了“寻找损失函数最小值”问题.梯度下降法算法描述如下：
（1）损失是否足够小？如果不是，计算损失函数的梯度.
（2）按梯度的反方向走一小步，以缩小损失.
（3）循环到（1）.
梯度下降法中通过沿着梯度负方向不断调整参数，从而逐步接近损失函数极小值所在点.

二、调整学习率

1逐步调整学习率

上图左边黑色为损失函数的曲线，假设从左边最高点开始，如果学习率调整的刚刚好，比如红色的线，就能顺利找到最低点。如果学习率调整的太小，比如蓝色的线，就会走的太慢，虽然这种情况给足够多的时间也可以找到最低点，实际情况可能会等不及出结果。如果 学习率调整的有点大，比如绿色的线，就会在上面震荡，走不下去，永远无法到达最低点。还有可能非常大，比如黄色的线，直接就飞出去了，更新参数的时候只会发现损失函数越更新越大。

虽然这样的可视化可以很直观观察，但可视化也只是能在参数是一维或者二维的时候进行，更高维的情况已经无法可视化了。

解决方法就是上图右边的方案，将参数改变对损失函数的影响进行可视化。比如学习率太小（蓝色的线），损失函数下降的非常慢；学习率太大（绿色的线），损失函数下降很快，但马上就卡住不下降了；学习率特别大（黄色的线），损失函数就飞出去了；红色的就是差不多刚好，可以得到一个好的结果。

2自适应学习率

举一个简单的思想：随着次数的增加，通过一些因子来减少学习率

• 通常刚开始，初始点会距离最低点比较远，所以使用大一点的学习率
• update好几次参数之后呢，比较靠近最低点了，此时减少学习率
• 比如 ${\eta }^t=\frac{{\eta }^t}{\sqrt{t+1}}$ ，t 是次数。随着次数的增加，${\eta }^t$ 减小

学习率不能是一个值通用所有特征，不同的参数需要不同的学习率

3Adagrad 算法

每个参数的学习率都把它除上之前微分的均方根。解释：

普通的梯度下降为：

$$w^{t+1}\leftarrow wt-{\eta }^t{g}^t$$ $${\eta }^t=\frac{{\eta }^t}{\sqrt{t+1}}$$

• w 是一个参数

Adagrad 可以做的更好：

$$w^{t+1}\leftarrow w^t-\frac{{\eta }^t}{{\sigma }^t}{g}^t$$$$g^t=\frac{\partial L({\theta }^t)}{\partial w}$$

• ${\sigma }^t$:之前参数的所有微分的均方根，对于每个参数都是不一样的。

Adagrad举例
下图是一个参数的更新过程

将 Adagrad 的式子进行化简：

Adagrad 存在的矛盾？

在 Adagrad 中，当梯度越大的时候，步伐应该越大，但下面分母又导致当梯度越大的时候，步伐会越小。

下图是一个直观的解释：

下面给一个正式的解释：

比如初始点在 $x_0$ ，最低点为 $-\frac{b}{2a}$，最佳的步伐就是 $x0$ 到最低点之间的距离 $\left|x_0+\frac{b}{2a}\right|$ ，也可以写成 $\left|\frac{2a{x}_0+b}{2a}\right|$ 。而刚好$|2a{x}_0+b|$就是方程绝对值在 $x_0$ 这一点的微分。

这样可以认为如果算出来的微分越大，则距离最低点越远。而且最好的步伐和微分的大小成正比。所以如果踏出去的步伐和微分成正比，它可能是比较好的。

结论1-1:梯度越大，就跟最低点的距离越远。
这个结论在多个参数的时候就不一定成立了。

多参数下结论不一定成立
对比不同的参数

上图左边是两个参数的损失函数，颜色代表损失函数的值。如果只考虑参数 $w_1$，就像图中蓝色的线，得到右边上图结果；如果只考虑参数 $w_2$ ，就像图中绿色的线，得到右边下图的结果。确实对于 a和 b，结论1-1是成立的，同理 c 和 b 也成立。但是如果对比a 和 c，就不成立了，c 比 a 大，但 c 距离最低点是比较近的。

所以结论1-1是在没有考虑跨参数对比的情况下，才能成立的。所以还不完善。

之前说到的最佳距离 $\left|\frac{2a{x}_0+b}{2a}\right|$，还有个分母 2a 。对function进行二次微分刚好可以得到：
$$\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}=2a$$

所以最好的步伐应该是：

$$\frac{一次微分}{二次微分}$$
即不止和一次微分成正比，还和二次微分成反比。最好的step应该考虑到二次微分：
​

Adagrad 进一步的解释
再回到之前的 Adagrad

对于 $\sqrt{{\sum }_{i=0}^t(g^i{)}^2}$ 就是希望再尽可能不增加过多运算的情况下模拟二次微分。（如果计算二次微分，在实际情况中可能会增加很多的时间消耗）

三、随机梯度下降法

之前的梯度下降：

$$L=\sum _n({\hat{y}}^n-(b+\sum w_i{x}_i^n){)}^2$$

$${\theta }^i={\theta }^{i-1}-\eta ▽L({\theta }^{i-1})$$

而随机梯度下降法更快：
损失函数不需要处理训练集所有的数据，选取一个例子$x^n$
$$L=(y^n-(b+\sum w_i{x}_i^n))2$$$${\theta }^i={\theta }^{i-1}-\eta ▽L^n({\theta }^{i-1})$$
此时不需要像之前那样对所有的数据进行处理，只需要计算某一个例子的损失函数Ln，就可以赶紧update 梯度。

对比：
常规梯度下降法走一步要处理到所有二十个例子，但随机算法此时已经走了二十步（每处理一个例子就更新）

四、特征缩放

比如有个函数：
$$y=b+w1x1+w2x2$$
两个输入的分布的范围很不一样，建议把他们的范围缩放，使得不同输入的范围是一样的。
​
为什么要这样做？

上图左边是 $x_1$的scale比 $x_2$ 要小很多，所以当 $w_1$和 $w_2$ 做同样的变化时，$w_1$对 y 的变化影响是比较小的，$x_2$ 对 y 的变化影响是比较大的。

坐标系中是两个参数的error surface（现在考虑左边蓝色），因为 $w_1$对 y的变化影响比较小，所以 $w_1$对损失函数的影响比较小，$w_1$对损失函数有比较小的微分，所以 $w_1$方向上是比较平滑的。同理 $x_2$对 y的影响比较大，所以 $x_2$对损失函数的影响比较大，所以在 $x_2$方向有比较尖的峡谷。
上图右边是两个参数scaling比较接近，右边的绿色图就比较接近圆形。
对于左边的情况，上面讲过这种狭长的情形不过不用Adagrad的话是比较难处理的，两个方向上需要不同的学习率，同一组学习率会搞不定它。而右边情形更新参数就会变得比较容易。左边的梯度下降并不是向着最低点方向走的，而是顺着等高线切线法线方向走的。但绿色就可以向着圆心（最低点）走，这样做参数更新也是比较有效率。

怎么做缩放？
方法非常多，这里举例一种常见的做法：

上图每一列都是一个例子，里面都有一组特征。

对每一个维度 ii（绿色框）都计算平均数，记做$ m_i $；还要计算标准差，记做 ${\sigma }_i$ 然后用第 r个例子中的第 i个输入，减掉平均数 $m_i$，然后除以标准差${\sigma }_i$，得到的结果是所有的维数都是 0，所有的方差都是 1。