雅可比(Jacobi)迭代法的MATLAB代码_雅可比matlab源码

作者：繁依Fanyi0 | 2024-03-01 20:56:19

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雅可比matlab源码

雅可比(Jacobi)迭代法的MATLAB代码

数值分析学习（四）

一、迭代原理

考虑线性方程组Ax = b时，A为可逆矩阵，当A的主对角线元素不为0时，A可写为：

A=D+L+U，D,L,U可写为：
$D=\left[$

\begin{matrix} a_{11} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & a_{22} & \dots & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & \dots & a_{n n} \end{matrix}

$\begin{matrix} a_{11} & 0 & … &0 \\ 0 & a_{22} & …&0\\ …&…&…&…\\ 0&0&…&a_{nn} \end{matrix}$ \right] \space L=\left[

\begin{matrix} 0 & 0 & \dots & 0 \\ a_{21} & 0 & \dots & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & 0 \end{matrix}

$\begin{matrix} 0 & 0 & … &0 \\ a_{21} & 0 & …&0\\ …&…&…&…\\ a_{n1}&a_{n2}&…&0 \end{matrix}$ \right] \space U=\left[

\begin{matrix} 0 & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ 0 & 0 & \dots & a_{2 n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & \dots & 0 \end{matrix}

$\begin{matrix} 0 & a_{12} & … &a_{1n} \\ 0 & 0& …&a_{2n}\\ …&…&…&…\\ 0&0&…&0 \end{matrix}$ \right]

D = a_{11} 0 \dots 0 0 a_{22} \dots 0 \dots \dots \dots \dots 00 \dots a_{nn} L = 0 a_{21} \dots a_{n 1} 00 \dots a_{n 2} \dots \dots \dots \dots 00 \dots 0 U = 00 \dots 0 a_{12} 0 \dots 0 \dots \dots \dots \dots a_{1 n} a_{2 n} \dots 0

故将L，U移到左边，可得：

$x_i=\frac{1}{a_{ii}}\left[ b_i-\sum_{j=1 \space j \neq i}^{n}{a_{ij}x_j} \right] ,\space i=1,2…n \\ 即x=Bx+f,\space 其中B=I-D^{-1}A=-D^{-1}(L+U)\\ 故可以迭代X^{(k+1)}=Bx^{(k)}+f$

二、迭代收敛性

如果 $\lim_{n \rightarrow +\infty}{x^{(n)}}$ 存在，则迭代法收敛；否则，迭代法不收敛。

三、算法分析

$1 、$ 将矩阵解写为上述形式；
$2 、$ 给定迭代准确度（即误差）与迭代初值；
$3 、$ 逐次迭代.

四、MATLAB代码

function [x,j] = Jacobi(A,b)
  %% A为n×n矩阵
  %% b为n维列向量
  %% x为输出解
  %% j为迭代次数
   n = length(b);
   D = zeros(n,n);
   D = sparse(diag(diag(A)));
   Dinv = sparse(diag(1./diag(A)));

   B = Dinv*(D-A);
   f = Dinv*b;

   TOL = 1.0e-3;
   Max_iter = 1000;
   error = 1;

   j = 0;
   x0 = [0;0;0];
   while error>TOL && j<Max_iter
     xk = B*x0+f;
     error = norm(xk-x0,inf);
     x0=xk;
     j=j+1;
   end
   x=xk;
   j;
end
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