MA滑动平均模型_功率谱滑动平均ma谱估计案例

与$AR$模型不同，$MA$模型并非是历史时序值的线性组合，而是历史白噪声的线性组合，移动平均过程总是平稳的，因为它是白噪声的线性组合。

{ x t = μ + ε t − ∑ i = 1 q θ i ε t − i θ q ≠ 0 E ( ε t ) = 0 , V a r ( ε t ) = σ 2 , E ( ε t ε s ) = 0 , s ≠ t \left\{

$$\begin{aligned} & x_t = \mu + \varepsilon_t - \sum_{i=1}^q \theta_{i} \varepsilon_{t-i} \\ & \theta_q \neq 0 \\ & E(\varepsilon_t)=0,Var(\varepsilon_t)=\sigma^2,E(\varepsilon_t \varepsilon_s)=0,s\neq t \\ \end{aligned}$$ \right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧​​xt​=μ+εt​−i=1∑q​θi​εt−i​θq​​=0E(εt​)=0,Var(εt​)=σ2,E(εt​εs​)=0,s​=t​
限制条件

• ${\theta }_q\ne 0$，确保模型的最高阶数为$q$；
• $E({\epsilon }_t)=0,Var({\epsilon }_t)={\sigma }^2,E({\epsilon }_t{\epsilon }_s)=0,s\ne t$，保证随机序列为白噪声序列。

通常默认限制条件，模型简记为：
$$x_t=\mu +{\epsilon }_t-\sum _{i=1}^q{\theta }_i{\epsilon }_{t-i}$$

统计性质

• 常数均值

E ( x t ) = E ( μ + ε t − ∑ i = 1 q θ i ε t − i ) = E ( μ ) + E ( ε t ) − ∑ i = 1 q θ i E ( ε t − i ) = μ

$$\begin{aligned} E(x_t) &= E(\mu + \varepsilon_t - \sum_{i=1}^q \theta_{i} \varepsilon_{t-i}) \\ &= E(\mu) + E(\varepsilon_t) - \sum_{i=1}^q \theta_i E(\varepsilon_{t-i}) \\ &= \mu \end{aligned}$$ E(xt​)​=E(μ+εt​−i=1∑q​θi​εt−i​)=E(μ)+E(εt​)−i=1∑q​θi​E(εt−i​)=μ​

• 常数方差

V a r ( x t ) = V a r ( μ + ε t − ∑ i = 1 q θ i ε t − i ) = V a r ( μ ) + V a r ( ε t ) + ∑ i = 1 q θ i 2 V a r ( ε t − i ) = 1 + ∑ i = 1 q θ i σ 2

$$\begin{aligned} Var(x_t) &= Var(\mu + \varepsilon_t - \sum_{i=1}^q \theta_{i} \varepsilon_{t-i}) \\ &= Var(\mu) + Var(\varepsilon_t) + \sum_{i=1}^q \theta_i^2 Var(\varepsilon_{t-i}) \\ &= 1 + \sum_{i=1}^q \theta_i \sigma^2 \end{aligned}$$ Var(xt​)​=Var(μ+εt​−i=1∑q​θi​εt−i​)=Var(μ)+Var(εt​)+i=1∑q​θi2​Var(εt−i​)=1+i=1∑q​θi​σ2​

• 自协方差函数只与滞后阶数相关，且$q$阶截尾

  γ k = E ( x t x t − k ) = { 1 + ∑ i = 1 q θ i 2 σ ε 2 , k = 0 ( − θ k + ∑ i = 1 q − k θ i θ k + i ) σ ε 2 , 1 ≤ k ≤ q 0 , k > q \gamma_k = E(x_t x_{t-k})=\left\{

  $$\begin{aligned} & 1 + \sum_{i=1}^q \theta_i^2 \sigma_{\varepsilon}^2, &k =0 \\ & (-\theta_k + \sum_{i=1}^{q-k}\theta_i \theta_{k+i}) \sigma_{\varepsilon}^2, &1 \le k \le q \\ & 0,&k>q \end{aligned}$$ \right. γk​=E(xt​xt−k​)=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​​1+i=1∑q​θi2​σε2​,(−θk​+i=1∑q−k​θi​θk+i​)σε2​,0,​k=01≤k≤qk>q​

• 自相关系数$q$阶截尾
  ρ k = γ k γ 0 = { 1 , k = 0 ( − θ k + ∑ i = 1 q − k θ i θ k + i ) 1 + ∑ i = 1 q θ i 2 , 1 ≤ k ≤ q 0 , k > q \rho_k = \frac{\gamma_k}{\gamma_0}=\left\{

  $$\begin{aligned} & 1 , &k =0 \\ & \frac{(-\theta_k + \sum_{i=1}^{q-k}\theta_i \theta_{k+i})}{1+\sum_{i=1}^q \theta_i^2}, &1 \le k \le q \\ & 0,&k>q \end{aligned}$$ \right. ρk​=γ0​γk​​=⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧​​1,1+∑i=1q​θi2​(−θk​+∑i=1q−k​θi​θk+i​)​,0,​k=01≤k≤qk>q​

定阶

$q$阶$MA$模型的自相关系数是$q$阶截尾的，这意味着可以通过计算样本自相关系数来确定$MA$模型的阶数。

预测

设预测原点为$h$，$F_h$为在$h$时刻所能获得的信息集，${\hat{x}}_h(l)$表示在$h$时刻向前$l$步预测，${\epsilon }_h(l)$表示预测误差。
x h + l = μ + ε h + l − ∑ i = 1 q θ i ε h + l − i x ^ h ( l ) = μ − ∑ i = 1 q θ i E ε h + l − i

$$\begin{aligned} x_{h+l} &= \mu + \varepsilon_{h+l}- \sum_{i=1}^q \theta_i \varepsilon_{h+l-i}\\ \hat{x}_h(l) &= \mu - \sum_{i=1}^q \theta_i E\varepsilon_{h+l-i} \end{aligned}$$ xh+l​x^h​(l)​=μ+εh+l​−i=1∑q​θi​εh+l−i​=μ−i=1∑q​θi​Eεh+l−i​​

E ε h + l − i = { 0 , l − i > 0 ε h + l − i , l − i ≤ 0 E \varepsilon_{h+l-i}=\left\{

$$\begin{aligned} & 0 , & l-i > 0 \\ & \varepsilon_{h+l-i}, & l - i \le 0\\ \end{aligned}$$ \right. Eεh+l−i​={​0,εh+l−i​,​l−i>0l−i≤0​

解释：$h+t(t>0)$时刻的随机干扰误差是未知的，根据其假定白噪声条件有$E({\epsilon }_{h+t})=0$，而当前时刻$h$及其之前时刻的随机误差是已知的，因此$E({\epsilon }_{h+t}t<=0)={\epsilon }_h$。

性质：对于一个$MA(q)$模型，向前$q$步以后的预测就达到了模型的均值。

---

王燕.应用时间序列分析[M].中国人民大学出版社.201907