近代信号处理期末个人总结_二阶统计量

第一章

 

1.随机信号具有哪些统计特征？

答：

一阶统计量：均值

二阶统计量：自相关函数，互相关函数，自协方差函数，互协方差函数

 

2.解释随机过程的平稳性与遍历性

答：平稳性：一个随机过程的统计性质不随时间改变，就称为严平稳或强平稳或狭义平稳随机过程；一个随机过程的k阶及以下统计量不随时间变化，就称为k阶宽平稳或弱平稳或广义平稳随机过程

遍历性：一个样本函数的统计特性代表整个集合的统计特性

 

3.功率谱密度的定义及物理意义

定义：

物理意义：表示随机过程分布在ω附近单位频率间隔上的平均功率

4.维纳-辛钦定理

答：广义平稳随机过程的功率谱密度和自相关函数构成一组傅里叶变换对

 

5. Wold分解定理是什么？

答：任一广义平稳随机过程的功率谱都可以表示为一连续谱和一线谱之和，即

6.谱表示定理定义，其重要意义是什么？

答：

谱表示定理定义：如果对于广义平稳随机过程y[n]的功率谱PY(w)是cos(w)或exp(jw)的有理函数，那么存在渐进稳定的最小相位线性定常系统，使得如果系统输入时白噪声时输出为功率谱为PY(w)的平稳随机过程。

重要意义：对于具有有理谱密度的平稳随机过程，要分析其二阶统计特性，可以转化成分析一个以白噪声为输入的线性移不变系统。

 

7.平稳随机信号通过线性系统输出和输入功率谱之间的关系？

答：考虑一个线性移不变系统Hz，输入一个平稳随机过程xn，当且仅当Hz渐进稳定，即系统的极点全部在Z平面上的单位圆内时，输出yn也是一个平稳随机过程。在这种情况下

且输出的功率谱等于输入的功率谱乘上线性系统的传递函数的平方。

 

8. 根据谱表示定理，平稳随机过程的功率谱是或的有理函数，必定存在一个渐近稳定的最小相位定常系统，使得系统的输入为白噪声，系统的输出为功率谱，试问：白噪声激励该系统的输出是否与是同一随机过程，二者有哪些共同特性？

答：并不能说明白噪声激励该系统的输出与y(n)是同一随机过程，它只能说明这两个随机过程具有相同的二阶统计特性，即自相关函数和功率谱等价。

 

9. 平稳随机过程的时间序列模型（三种模型）有什么关系？

10. 估计量的无偏性、有效性、一致性与相应的性能度量参数是什么？写出其表达式。

答：

第二章

 

1.自相关函数的无偏估计与有偏估计表达式

 

2.经典谱估计有哪两种基本方法？它们是根据什么得到的？二者之间有什么关系？

答：经典谱估计的两种方法分别是周期图法和自相关法。

周期图法：Sω=1NDTFTxn2，直接由样本函数的傅里叶变换得到，忽略无穷与平均，有偏估计，渐进无偏，不是一致估计，方差总大于或等于估计值均值的平方，

自相关法：Sω=DTFTrxx(k)，利用维纳-辛钦定理，通过自相关函数的估计间接得到功率谱的估计。有偏估计，渐进无偏。

两者关系 ：自相关法实际上是某种意义上对周期图的改进，采用延迟窗平滑了周期图的频谱。

3. 已知随机信号的N个样本值，采用周期图法估计的功率谱，当N趋于无穷大时，估计的方差将趋于什么？

答：当N趋于无穷大时，估计的方差将趋近于均值的平方

 

4.随机过程的5个观测值=2,3,4,5,6，（n=0,1,2,3,4），计算的自相关函数的无偏估计和有偏估计。

答：(自己算)

 

5. 改进经典谱估计方法采用的措施是什么？带来了哪些损失？

答：引入延迟窗进行平滑，或引入数据窗进行平均，以偏差和分辨率为代价换取方差特性改善。

Bartlett法：分段平均

Welch法：交叠平均

Nuttall法：分段加窗平均

第三章

 

1. 现代谱估计与经典谱估计在方法上有何根本的差别？影响现代谱估计估计质量的因素是什么？(经典谱估计与现代谱估计方法的特点和影响估计质量的因素)

答：

经典谱估计：假设样本以外的数据为0，造成分辨率较低，谱失真较大。

经典谱估计方法是根据PSD定义提出的，物理概念明确，可以使用FFT，仍是目前常用的方法，存在分辨率低(∝2π/N)，方差性能不好的问题。平滑和平均仍是表层处理，无法改变本质。

影响因素：不是真实功率谱密度的一致估计，N增大起伏加剧

现代谱估计：样本以外的数据与样本数据服从统一模型，彻底改变经典谱估计的不合实际的假设,实现高分辨谱估计。

影响因素：模型的选择

 

2. 什么是AR谱估计？AR谱估计与最大熵谱估计的联系与差别？

答：建立平稳随机过程的AR模型来获得功率谱估计的方法叫做AR谱估计

(1）最大熵准则具有普遍意义，并不局限于高斯平稳过程的谱估计，只是对于高斯平稳过程，最大熵谱估计的结果具有AR谱估计的形式；AR谱估计是对从功率谱等价地角度能够用有限阶AR模型准确或近似表示的平稳过程，通过估计AR模型的参数间接获得功率谱估计的方法；

(2）对非高斯过程，最大熵谱估计与AR谱估计在任何情况下都不同；

(3）即使对于高斯AR过程，如果已知的自相关函数的最大延迟小于AR过程的阶数，AR谱估计将不能求出，而最大熵谱估计是一个阶次等于最大延时的AR过程对应的谱。

(4）用多维平稳模拟随机场的多维最大熵谱估计与多维AR谱估计在任何情况下都不同。

 

3. 模型如何选择？

答：节俭准则和估计模型参数的准确程度。

AR模型适合于具有尖峰但没有深谷的谱。

MA模型适合于具有深谷但无尖峰的谱。

ARMA模型是较通用的，对两种极端情况能够表示的模型。

衰减率大的谱需要高阶次的模型表示。

 

4. 推导Yule-Walker方程（AR过程自相关函数的递推特性）。

5. 线性最小均方误差估计的正交原理是什么？

答：P56.

线性最小均方误差估计的误差与数据正交：

 

6. 平稳随机过程的最小均方误差一步前向线性预测、后项线性预测及其关系。

答：

最小均方误差一步前向线性预测：

最小均方误差一步后向线性预测：

系数互为共轭，最小预测误差功率相等.

7. AR过程的最优线性预测的特殊性质是什么？包括数学表达式。

答：

最小均方误差一步前向线性预测：

即m阶最优前向预测系数为:

 

最小均方误差一步后向线性预测：

即m阶最优前向预测系数为:

最小一步线性预测误差功率为：

AR模型建模可由求线性预测系数来实现

 

8. AR过程的三组等价表示参数是什么？

答：p+1个自相关函数

p+1个AR模型参数

反射系数

 

9. 自相关法、协方差法、修正协方差法和Burg法的原理、优缺点。

答：

自相关法

原理：在Yule-walker方程中用样本的自相关函数估计代替真值，求解方程，也可看成是求解最优一步前向线性预测的结果

优点：自相关矩阵估计具有共轭对称的Toeplitz结构，可用Levinson算法求解

缺点：预测误差功率包含一些不适当的项，分辨率降低，样本长度越小，分辨率越不好。存在谱线分裂和谱峰偏移现象

协方差法

原理：不取不适当的项（<0和>N-1的样本在方程中不出现）

优点：分辨率高

缺点：矩阵共轭对称，但不具有Toeplitz结构，不能用Levinson算法求解，存在谱线分裂和谱峰偏移现象

修正协方差法（改进的协方差法）

原理：使前后向预测误差功率的平均值达到最小

优点：分辨率高

缺点：矩阵共轭对称，但不具有Toeplitz结构，不能用Levinson算法求解

Burg法

原理：通过使m阶前后向预测误差功率的平均值极小来估计反射系数km，同时对AR参数施加Levinson递推关系的约束, 利用Levinson递推关系获得AR参数的估计。

优点：分辨率高, 能用Levinson算法求解

缺点：存在谱线分裂和谱峰偏移现象

 

四种方法的原理、优缺点◆

(1)协方差法、修正协方差法，基本Burg法和其他不同反射系数估计对应的Burg法性能相近，只有自相关法较差，包括偏差较大，分辨能力较差以及方差稍大

(2)对于理想信号加白噪声的数据，自相关法、基本的Burg法存在谱线分裂现象和谱峰偏移现象，协方差法，数据自适应加权反射系数估计和极大似然反射系数估计对应的改进Burg法可减少或消除谱线分裂现象，减少谱峰偏移，修正协方差法从未观察到谱线分裂现象，且谱峰偏移量最小

(3)自相关法和Burg法可采用Levinson递推计算，所得到的AR参数对应稳定AR模型了协方差法和修正协方差法不能采用Levinson递推计算，所得到AR参数不能保证对应稳定AR模型，但也存在按阶递推求解的快速算法。

 

10. 谱线分裂现象在哪些情况下容易出现。

答：(1)SNR高时

(2)正弦信号分量的初始相位是pi/4的奇数倍且样本长度N接近正弦信号分量四分之一周期的奇数倍。

(3)AR模型的阶次与数据量N之比较高时

 

11. 列举AR模型阶次选择的准则。

答：

FPR：最终预测误差准则

AIC：赤池信息论准则

MDL(BIC)：最短描述长度准则

HIC：

CAT：自回归传递函数准则

12. 自回归过程AR(1)的5个观测值=2,3,4,5,6，（n=0,1,2,3,4），用自相关法（也称Yule-Walker法）求该自回归过程的谱估计。(重点！)

计算得到与

 

第四章

 

1. 什么是MA谱估计？MA过程自相关函数的特点。

答：用MA模型表示平稳随机过程，通过估计MA模型的参数间接得到过程的功率谱密度估计。

自相关函数特点：采用MA模型表示随机过程，等价于隐含假设|k|>q的自相关函数r_xx (k)=0，即自相关函数的最大延迟等于MA模型的阶数

 

2. MA谱估计与BT谱估计具有完全相同的形式，它们的区别是什么？

答：

(1)BT谱估计没有对过程作MA过程的假定，适用于任何平稳过程的功率谱估计，MA方法仅适用于可用有限阶MA模型描述的过程；

(2)BT谱估计的自相关函数最大延迟M是人为选定的，MA谱估计中模型阶次决定了自相关函数的最大延迟；

(3)BT谱估计不能保证估计的非负性，而MA谱估计是非负的

 

3.逆自相关函数的定义、性质

答：逆功率谱密度：1/功率谱密度

逆自相关函数：逆功率谱密度的反傅里叶变换

 

4. C-P（Cleveland-Parzen）方程表达式。

答：

 

4. 什么是功率谱等价现象？哪种模型的参数估计存在功率谱等价现象？根本原因是什么？

答：

功率谱等价现象：功率谱对应的系统模型不唯一的现象

MA模型与ARMA模型

根本原因：

功率谱的自相关函数值包含了产生该过程的系统传递函数的幅频特性，而不能反映相位特性。

 

5.  Durbin法的基本思想和基本步骤。

答：

(1)选择L>>q的高阶AR模型，利用样本数据采用任意一种AR参数估计方法，得到L阶AR模型系数估计{a (1),⋯,a (L)}与MA过程激励白噪声方差的估计σ ̂^2

(2)利用{1,a (1),⋯,a (L)}作为数据样本，采用自相关法求q阶AR模型参数估计的计算过程，获得MA系数估计{b (1),⋯,b (q)}

 

6．逆自相关法的基本步骤。

答：通过估计逆自相关函数，再求解Cleveland-Parzen方程获得MA过程的系数

 

7. Durbin、长自回归估计法等MA模型参数估计的线性化方法获得线性化的基本途径。

答：利用高阶AR模型近似MA模型，之后再根据得到的AR模型参数，利用自相关法或是逆自相关函数求解MA模型参数。

 

第五章

1. 什么是ARMA谱估计？

答：用ARMA模型表示平稳过程，通过估计ARMA模型的参数间接得到过程的功率谱估计

 

2. Yule-Walker方程、修正Yule-Walker方程和Cleveland-Parzen方程及修正Cleveland-Parzen各表达了什么含义？

答：Yule-Walker方程表达了自相关函数的递推特性。修正Yule-Walker方程表达了ARMA模型中AR系数满足的一个线性方程组。Cleveland-Parzen方程表达了自相关函数的递推特性，修正Cleveland-Parzen表达了ARMA模型中MA系数满足的一个线性方程组。

 

3. 矩法、交叉相乘定参数法、HDW法、多级最小二乘法等ARMA模型参数的线性估计法，是通过何种共同途径使非线性参数估计问题获得线性处理的？为什么ARMA过程本身的零点位置将影响参数的估计精度？

答：P136

通过ARMA模型的高阶AR模型近似表示，使非线性参数估计问题得到线性处理。

ARMA模型的零点位置将会影响高阶AR模型的近似程度，从而影响参数的估计精度。

 

4. AR系数估计的矩法包括哪些方法？ARMA模型中的AR系数估计的矩法是求解什么方程获得的？

答：矩估计，最小二乘矩估计，总体最小二乘矩估计。

求解修正Yule-Walker方程

 

5. 在理论上，ARMA过程的自相关函数和AR系数之间满足增广（方程个数多于未知数）的修正Yule-Walker方程，当将自相关函数用估计值代替得到时，这个方程无解，结合这一情况，说明ARMA模型中AR系数a的最小二乘矩估计、总体最小二乘矩估计的基本思想。

答：

最小二乘矩估计：修正Yuel-Walker方程方程组个数大于未知数个数，采用最小二乘技术解方程，等价于认为r1存在误差，带导致方程不能成立

总体最小二乘矩估计：同时对R1和r1进行补偿，来使超定方程组恢复成有解方程，估计补偿量再求解

R1+E1a=-r1-e1

 

6. 在总体最小二乘矩估计中通过什么工具来获得总体最小二乘解？

答：矩阵的奇异值分解。

 

7. 交叉相乘定参数法基本步骤

答：交叉相乘定参数法：ARMA模型等价于无穷阶AR过程

(1)利用数据使用任何一种AR参数估计法，获得L>>p+q阶AR模型的参数估计c1,⋯,cL与ARMA过程激励白噪声方差估计σ2

(2)采用最小二乘法或总体最小二乘法求解线性方程组获得MA系数的估计b1,⋯,bq

(3)求AR系数的估计

8. HDW法基本步骤

答：P122联合估计AR系数与MA系数，避免误差传输

(1).利用数据使用任何一种AR参数估计法，获得L>>p+q阶AR模型的系数估计与ARMA模型过程激励白噪声方差估计σ2

(2)递推估计MA模型的系数

(3)采用最小二乘技术求解线性方程组获得ARMA模型系数的估计

9. 二级最小二乘法基本步骤

(1) .利用数据使用任何一种AR参数估计法，获得L>>p+q阶AR模型的系数估计

(2) 获得激励白噪声样本

(3) 获得ARMA模型参数

 

 

第六章

 

1. 指数迭加信号的前向和后向线性预测定理。

答：P147-148.

前向线性预测：对M个分量的指数叠加信号s(n)，若信号极点互不相等，γm≠0(m=1,2,…M),则s(n)可由其过去的L≥M个时刻的值的线性组合准确预测。

且信号极点必为多项式的零点

 

后向线性预测：对M个分量的指数叠加信号s(n)，若信号极点互不相等，γm≠0(m=1,2,…M),则s(n)可由其未来的L≥M个时刻的值的线性组合准确预测。

且信号极点必为多项式的零点

 

2. 信号子空间与噪声子空间的概念。

答：P154.

信号子空间：

1)    观测量自相关矩阵的主特征向量长成的子空间

2)    信号自相关矩阵的非零特征值的特征向量章程的子空间

3)    正弦信号向量张成的子空间

噪声子空间

1)    观测量自相关函数的非主特征向量张成的子空间

2)    信号自相关矩阵的零特征值的特征向量张成的子空间

3)    信号子空间的补空间

3. 信号子空间与噪声子空间的正交性；信号子空间的移不变性。

答：P155-156.

正交性：

设S是信号子空间任意一个向量，V是噪声子空间的任意一个向量，则

信号子空间移不变性：

设其列向量张成M个分量正弦信号的信号子空间，L≥M，记Vs↑为Vs删除第一行后的L×M阶矩阵，为Vs删除第(L+1)行后的L×M阶矩阵,则

（1）与具有相同的列空间。且为L为线性空间中的信号子空间

（2），且F为一个满秩的M×M阶方阵，F的M个特征值为正弦信号的M个信号极点

4. 线性预测法、MUSIC、ESPRIT基本思想、信号子空间的获得方法、基本步骤。

答：

1.估计出信号的特征多项式的系数，通过因式分解并设法进行区分就可以得到信号极点的一种估计。

2.估计出噪声子空间的一个向量或一组基向量，通过求相应多项式的零点并设法区分或求基向量对应的多个多项式的公共零点就可以得到信号的极点估计。

3.估计出信号子空间的一组基向量相应的矩阵Vs，获得Vs的两个位移子阵Vs↑与Vs↓，解出方程Vs↓F=Vs↑的F解，在通过特征值分解就可以得到信号极点的一种估计。

 

线性预测法步骤：

使预测误差的能量最小化

MUSIC步骤:

取噪声子空间中一组基向量，组成矩阵VN，由此获得谱估计

PMUSICω=sHVNVNHs-1

由上述谱函数的M个谱峰位置就可以获得正弦信号的频率估计

ESPRIT步骤：

(1)估计信号子空间Vs或与

(2)求解方程

(3)求的M个特征值

 

信号子空间的获得方法：

1.直接数据近似DDA与Toeplitz近似TAM

2.LS-ESPRIT法与TLS-ESPRIT法

5.均匀分布随机相位无阻尼正弦信号的自相关函数与自相关矩阵的秩特性，指数叠加信号数据矩阵的性质

答：

1.均匀分布随机相位无阻尼正弦信号的自相关函数

秩为M

满秩矩阵

2.由指数叠加信号数据矩阵非零奇异值的左奇异向量可以得到信号子空间的一组基向量。

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Yule-walker方程，Cleveland-Parzen方程，修正Yule-walker方程与修正Cleveland-Parzen方程这四个方程要完全记下来，属于最本质的内容~

及格万岁！

以上基本上就是《近代信号处理》这本书上的内容，转侵删~