相关系数与相关函数_互相关系数

语音信号处理，常常用到相关系数。那么，已知序列（向量）x和序列（向量）y，长度为N。怎么使用公式计算它们的互相关系数呢？

首先要清楚，互相关函数和互相关系数是什么关系：一般认为，互相关函数的最大值是互相关系数。互相关函数是描述随机信号 X(t)、Y(t) 在任意两个不同时刻s，t的取值之间的相关程度的函数。我们计算它们最好的办法，就是从定义入手。

先介绍互相关函数

1、对于连续信号和离散信号都成立的定义式：

其中，E表示数学期望（特别地，对于数字信号来说，可以理解成序列的均值）。

2、当然，对于连续随机信号f(t)、g(t) ，也可以这样定义：

*表示取共轭（实部不变，虚部取相反数）。这个式子看看就行。

3、重点来了，对于离散信号，我们直接看MATLAB里的文档来理解！

crosscorr函数的文档里写了，互相关函数是这样定义的：

这里算的是协方差函数： 

式1表示向量y1在 t 时刻的值，式2表示向量y2在 t+k 时刻的值，式3表示向量y2在 t 时刻的值，式4表示向量y1在 t-k 时刻的值。举例子说，假设y1和y2都是长度为N的向量，上式中T就用N代替，k用0,+-1,+-2,...,+-(N-1)代替。

仔细琢磨发现，辣么一大串公式算出来的，自变量范围是-(N-1)...,-2,-1,0,1,2,...N-1，一共2N-1个。正好对应输出序列的第1,2,3,4,...2N-1个值。也就是说，当k等于0时，对应的是输出序列的第N个值。MATLAB画一画，可以更好地理解（用了两个长得完全一样的信号求互相关）：

但实际上，打开crosscorr函数发现并不是按那个公式算的，而是先算了fft，对应点相乘后，ifft得到结果。

这是为什么呢？请看这个定义！这是离散信号互相关的一般计算公式：

你会发现，这个公式和卷积的公式很像啊！具体区别可以看看这个10分钟的视频：郭宝龙主讲信号与系统：第32讲，相关与卷积的比较。简单说，就是卷积和相关函数的区别就是在滑动乘加之前，其中一个信号是否需要翻转。所以，f(t)和g(t) 做相关等于 f*(-t) 与 g(t) 做卷积。时域卷积等于频域相乘，所以crosscorr函数那样算的。

敲个代码验证一下上边的解释：

这里故意选了个两个相互之间有延迟的信号。crosscorr的最大值是我们一般说的相关系数，对应的横坐标是延迟量。用公式算的cor是延迟量等于0时的结果，并不是我们常说的相关系数，它仅仅代表当延迟为0时信号间的相关程度。

回答最开始的问题：

1、如果要求的两个信号延迟量正好等于0，可以用公式直接计算相关系数，而不需要求出相关函数的所有值。

cor = sum( (x-mean(x)).*(y-mean(y)) ) / sqrt( sum((x-mean(x)).^2)*sum((y-mean(y)).^2) )
 
或者
 
cor = sum(x.*y) / sqrt(sum(x.*x) * sum(y.*y))

2、如果要求的两个信号延迟量不为0，需要用crosscorr计算

[c3,a3] = crosscorr(x,y,N-1);
max(c3)

补充一个计算自相关/互相关函数——xcorr

xcorr函数

xcorr函数里的crosscorr函数

注意！！！这个crosscorr函数和上边提到的crosscorr不是同一个函数。

scaleXcorr函数，coeff代表归一化系数

奇怪的是，xcorr和crosscorr算出的结果稍微有些不一样，但总体趋势一致，差的也不多。