代码随想录算法训练营day50 | 123.买卖股票的最佳时机III，188.买卖股票的最佳时机IV

123.买卖股票的最佳时机III（hard）

#121和#122两道题不同的是：限制条件变成了至多买卖两次，这意味着可以买卖一次，可以买卖两次，也可以不买卖

五部曲：

1. 确定dp数组以及下标的含义：

    由于至多买卖两次的限制，那么一天一共就有五个状态：没有操作，第一次买入。第一次      卖出，第二次买入，第二次卖出；那么dp[i][j]中 i表示第i天，j为 [0 - 4] 五个状态，dp[i][j]        表示第i天状态j所剩最大现金。

2. 确定递推公式：由于已经确定一共就5个状态，那么就一个一个推出来

    1）达到dp[i][1]状态，有两个具体操作：

• 操作一：第i天买入股票了，那么dp[i][1] = dp[i-1][0] - prices[i]
• 操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：dp[i][1] = dp[i - 1][1]

    然后dp[i][1] = max(dp[i-1][0] - prices[i], dp[i - 1][1])

    2）达到dp[i][2]状态，也有两个具体操作：

• 操作一：第i天卖出股票了，那么dp[i][2] = dp[i - 1][1] + prices[i]
• 操作二：第i天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，即：dp[i][2] = dp[i - 1][2]

    然后dp[i][2] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2])

    3）同理可推出dp[i][3]：

           dp[i][3] = max(dp[i - 1][2] - prices[i], dp[i - 1][3])

    4）同理可推出dp[i][4]：

           dp[i][4] = max(dp[i - 1][3] + prices[i], dp[i - 1][4])

3. dp数组如何初始化:

• 第0天没有操作，dp[0][0] = 0; 
• 第0天做第一次买入的操作，dp[0][1] = -prices[0];
• 第0天做第一次卖出的操作，dp[0][2] = 0;
• 第0天第二次买入的操作，第二次买入依赖于第一次卖出的状态，上面已经将第一次卖出后手头现金初始化为0，因此dp[0][3] = -prices[0]; （就是0-prices[0]）
• 同理第0天第二次卖出初始化为dp[0][4] = 0;

4. 确定遍历顺序：

    从递归公式其实已经可以看出，一定是从前向后遍历，因为dp[i]，依靠dp[i - 1]的数值。

5. 打印检查

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        if len(prices) == 0:
            return 0
 
        dp = [[0]*5 for _ in range(len(prices))]
        dp[0][0] = 0
        dp[0][1] = -prices[0]
        # dp[0][2] = 0
        dp[0][3] = -prices[0]
        # dp[0][4] = 0
 
        for i in range(1, len(prices)):
            dp[i][0] = dp[i-1][0]
            dp[i][1] = max(dp[i - 1][0] - prices[i], dp[i - 1][1])
            dp[i][2] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2])
            dp[i][3] = max(dp[i - 1][2] - prices[i], dp[i - 1][3])
            dp[i][4] = max(dp[i - 1][3] + prices[i], dp[i - 1][4])
 
        return dp[-1][4]

188.买卖股票的最佳时机IV

与#123相比，这道题使用了变量k来控制最多可买卖的次数

trick：

• 使用二维数组 dp[i][j] ：第i天的状态为j，所剩下的最大现金是dp[i][j]

• j的状态表示为：

  • 0 表示不操作
  • 1 第一次买入
  • 2 第一次卖出
  • 3 第二次买入
  • 4 第二次卖出
  • .....
• 这里可以发现除了0以外，偶数就是卖出，奇数就是买入；
• 题目要求是至多有K笔交易，那么j的范围就定义为 2 * k + 1 就可以了。（题目#123 其实就是k=2的情况）
• 那么接下来递推公式以及dp数组初始化都要遵循奇数状态是买入，偶数状态是卖出的原则，整个五部曲与#123一样，具体见题解

class Solution:
    def maxProfit(self, k: int, prices: List[int]) -> int:
        #dp数组定义以及初始化
        dp = [[0]*(2*k+1) for i in range(len(prices))]
        for i in range(1, 2*k, 2):
            dp[0][i] = -prices[0]
            # dp[0][i-1] = 0
        #遍历顺序
        for i in range(1, len(prices)):
            for j in range(0, 2*k, 2):
                dp[i][j+1] = max(dp[i-1][j] - prices[i], dp[i-1][j+1])   #奇数买入
                dp[i][j+2] = max(dp[i-1][j+1] + prices[i], dp[i-1][j+2])   #偶数卖出 
 
        return dp[-1][2*k]