回溯法之0-1背包问题（算法思路解析）_用回溯法求解0-1背包问题,假如4件物品(按照价值密度排序)的重量与价值分别是:w={5

回溯法解0-1背包问题

问题描述

输入：n件物品的价值和重量{<w1, v1>, <w2, v2>,…, <wn, vn>}和背包容量C

输出：(x1, x2, …, xn)，xi∈{0, 1}满足放入的物品重量小于背包容量的前提下价值最大

优化目标：价值最大化

实例讲解

假设：
物品个数为 n=3
背包的容量为 C=30
物品的重量分别为 w={16，15，15}
物品的价值分别为 v={45，25，25}

1.此时的解空间可以为(x1, x2, x3)的所有可能取{(0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (0,1,1), (1,0,0), (1,0,1), (1,1,0), (1,1,1)}

2.构造解空间树：

3.遍历解空间（深度优先）

从根往下遍历时，要求每次经过节点都计算此时是否满足容量的条件，当某个分支可以满足重量要求时，记录它的价值总量，以便最后选择最好的价值量。

例如第一次遍历时，经过x1=1，x2=1时，此时重量为31，超过了背包容量，那么我们回溯到x1=1处，并使用剪枝算法的约束函数剪去x2=1这个分支，并遍历x2=0这个分支，再从x2往下拓展x3=1或者0的情况。

概念介绍

扩展结点:一个正在产生儿子的结点称为扩展结点

活结点:一个自身已生成但其儿子还没有全部生成的节点称做活结点

死结点:一个所有儿子已经产生的结点称做死结点

深度优先的问题状态生成法：如果对一个扩展结点R，一旦产生了它的一个儿子C，就把C当做新的扩展结点。在完成对子树C（以C为根的子树）的穷尽搜索之后，将R重新变成扩展结点，继续生成R的下一个儿子（如果存在）

回溯法：为了避免生成那些不可能产生最佳解的问题状态，要不断地利用限界函数(bounding function)来处死那些实际上不可能产生所需解的活结点，以减少问题的计算量。具有限界函数的深度优先生成法称为回溯法

算法扩展-一般背包问题

在0-1背包中，物品不可拆分，但在一般背包中我们可以将物品拆分，例如将物品1的0.1部分装入背包。

解题思路：

1. 将物品按照单位重量价值排序。
2. 先装价值高的，一直到背包装满为止。