MATLAB非线性优化函数总结（二）_matlab中的objfun函数

前文： MATLAB非线性优化函数总结（一）.

fminsearch

• 无梯度优化法寻找无约束多变量函数最小值，目标函数为$mi{n}_{x}f(x)$, f(x)是一个返回标量的函数，而x是一个向量或矩阵。

语法

x = fminsearch(fun,x0)
x = fminsearch(fun,x0,options)
x = fminsearch(problem)
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[x,fval] = fminsearch(___)
%对任何之前输入的语法，在fval中返回解x处的目标函数fun的值。
[x,fval,exitflag] = fminsearch(___)
%返回描述退出条件的值exitflag。
[x,fval,exitflag,output] = fminsearch(___)
%返回带有优化过程信息的结构输出。
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示例

Rosenbrock函数
$f(x)=100(x_2-x_1^2{)}^2+(1-x_1{)}^2$
该函数在点x = [1,1]处被最小化，最小值为0。设置起始点为x0 = [-1.2,1]，用fminsearch将Rosenbrock的函数最小化。

fun = @(x)100*(x(2) - x(1)^2)^2 + (1 - x(1))^2;
x0 = [-1.2,1];
x = fminsearch(fun,x0,options)
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fminunc

• 无约束多变量函数的最小化

语法

x = fminunc(fun,x0)
x = fminunc(fun,x0,options)
x = fminunc(problem)
[x,fval] = fminunc(___)
[x,fval,exitflag,output] = fminunc(___)
[x,fval,exitflag,output,grad,hessian] = fminunc(___)
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示例

1. 多项式最小化

最小化函数$f(x)=3x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2-4x_1+5x_2$

fun = @(x)3*x(1)^2 + 2*x(1)*x(2) + x(2)^2 - 4*x(1) + 5*x(2);
x0 = [1,1];
[x,fval] = fminunc(fun,x0)
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2. 供应梯度
   当提供导数时，fminunc更快、更可靠。
   用Rosenbrock函数$f(x)=100(x_2-x_1^2{)}^2+(1-x_1{)}^2$，其梯度为
   $$\nabla f(x)=\left[\begin{array}{c}-400(x_2-x_1^2)x_1-2(1-x_1)\\ 200(x_2-x_1^2)\end{array}\right]$$

options = optimoptions('fminunc','Algorithm','trust-region','SpecifyObjectiveGradient',true);
%创建选项来使用目标函数的梯度。将算法设置为'trust-region'。
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x0 = [-1,2]; #初始点为[-1,2]
fun = @rosenbrockwithgrad;
x = fminunc(fun,x0,options)
%找到局部最小值。
%优化完成，因为梯度小于优化容忍度的值。
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%创建rosenbrockwithgrad函数，包含梯度作为第二输出。
function [f,g] = rosenbrockwithgrad(x)
% Calculate objective f
f = 100*(x(2) - x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2;

if nargout > 1 % gradient required
    g = [-400*(x(2)-x(1)^2)*x(1) - 2*(1-x(1));
        200*(x(2)-x(1)^2)];
end
end
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fseminf

• 寻找半无限约束的多变量非线性函数的最小值
• $mi{n}_{x}f(x)$ such that $$\{\begin{array}{r}c(x)\le 0\\ ceq(x)=0\\ A\cdot x\le b\\ Aeq\cdot x=beq\\ lb\le x\le ub\\ K_i(x,w_i)\le 0,1\le i\le n\end{array}$$
  $b$和$beq$为向量，$A$和$Aeq$为矩阵，$c(x)$、$ceq(x)$和$K_i(x,w_i)$为返回向量的函数，$f(x)$为返回标量的函数,$f(x)$、$c(x)$及$ceq(x)$都可为非线性函数。向量或矩阵$K_i(x,w_i)\le 0$是关于$x$和变量$w_1,w_2,...,w_n$的连续函数。

语法

x = fseminf(fun,x0,ntheta,seminfcon)
%从x0开始，在seminfcon中定义的ntheta半无限约束下找到函数fun的最小值。

x = fseminf(fun,x0,ntheta,seminfcon,A,b)
%加入线性不等式约束A*x≤b。

x = fseminf(fun,x0,ntheta,seminfcon,A,b,Aeq,beq)
%加入线性等式约束Aeq*x=beq。

x = fseminf(fun,x0,ntheta,seminfcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
%给x加上界和下界，满足lb ≤ x ≤ ub

x = fseminf(fun,x0,ntheta,seminfcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub,options)
%指定优化选项

x = fseminf(problem)
[x,fval] = fseminf(___)
[x,fval,exitflag,output] = fseminf(___)
[x,fval,exitflag,output,lambda] = fseminf(___)
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示例

1. 最小化半无限约束条件下的函数
   最小化函数$(x-1{)}^2$，约束条件$0\le x\le 2$，目标函数在x=1时被最小化。
   加入约束$g(x,t)=(x-1/2)-(t-1/2{)}^2\le 0forall0\le t\le 1$，此时$x\le 1/2$。由于$(t-1/2{)}^2\le 0$，故而$ma{x}_{t}g(t,x)=x-1/2$，即$ma{x}_{t}g(t,x)\le 0whenx\le 1/2$。
   要用fseminf解决这个问题，要把目标函数写成一个匿名函数。

objfun = @(x)(x-1)^2;
x0 = 0.2;
%初始点x0=0.2
ntheta = 1;
%指明有一个半无限约束
x = fseminf(objfun,x0,ntheta,@seminfcon)
%调用fseminf解决问题
function [c, ceq, K1, s] = seminfcon(x,s)

%无有限非线性不等式和等式约束
c = [];
ceq = [];
% 样本集
if isnan(s)
    %有限样本区间
    s = [0.01 0];
end
t = 0:s(1):1;

%评估半无限的约束条件
K1 = (x - 0.5) - (t - 0.5).^2;
end
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