离散数学 - 偏序关系_离散数学偏序关系

偏序关系

• 如果集合A上的二元关系R是自反的、反对称的和传递 的, 那么称R为A上的偏序, 称序偶<A, R>为偏序集合。偏序关 系R一般用 ≤ 表示

• 设<A, ≤ >是偏序集，对任意的 x, y∈A, 如果 x < y 且 不存在 z∈A 使得 x < z < y, 则称 y 覆盖 x

• 哈斯图: 利用偏序关系的自反、反对称、传递性进行简化的 关系图。
  1. 每个结点没有自回路
  2. 两个连通的结点之间的序关系通过结点位置的高低表示， 位置低的元素的顺序在前
  3. 具有覆盖关系的两个结点之间连边

• 设<A, ≤ >为偏序集, B$\subseteq$A, y∈B
  (1) 若$\forall$x(x∈B→y≤x)成立, 则称 y 为B的最小元；
  (2) 若$\forall$x(x∈B→x≤y)成立, 则称 y 为B的最大元；
  (3) 若$\neg \exists$x(x∈B $\wedge$x ≤ y $\wedge$ x $\ne$ y)成立, 则称 y 为B的极小元；
  (4) 若$\neg \exists$x(x∈B $\wedge$ y ≤ x$\wedge$ x $\ne$y)成立, 则称 y 为B的极大元。

• 性质：
  (1) 对于有穷集，极小元和极大元一定存在，可能存在多个；
  (2) 最小元和最大元不一定存在，如果存在一定惟一；
  (3) 最小元一定是极小元；最大元一定是极大元；
  (4) 孤立结点既是极小元，也是极大元

• 上下界, 上下确界, 设<A, ≤ >为偏序集, BA, y∈A
  (1) 若$\wedge$x(x∈B→x ≤ y)成立, 则称y为B的上界；
  (2) 若$\wedge$x(x∈B→y ≤ x)成立, 则称y为B的下界；
  (3) 令C＝{y| y为B的上界}, C的最小元为B的最小上界或上确界；
  (4) 令D＝{y| y为B的下界}, D的最大元为B的最大下界或下确界。

• 性质
  (1) 下界、上界、下确界、上确界不一定存在；
  (2) 下界、上界存在不一定惟一；
  (3) 下确界、上确界如果存在，则惟一；
  (4) 集合的最小元是其下确界，最大元是其上确界；反之不对

• 设 R 为非空集合A上的偏序关系,’’
  (1) x, y∈A, x与y可比 等价于 x ≤ y $\vee$ y ≤ x ；
  (2) 任取元素 x 和 y, 可能有下述几种情况发生： x < y (或 y < x), x＝y, x与y不是可比的

• R 为非空集合A上的偏序关系, 若对$\forall$x, y∈A, x与y都 是可比的，则称R为全序（或线序）。

• 如果A上的二元关系R是一线序,且A的每一非空子集 都有一最小元素, 那么R叫做A上的良序,序偶<A, R>叫做良序