浅识数据结构之时间复杂度

P. S.：以下代码均在VS2019环境下测试，不代表所有编译器均可通过。 P. S.：测试代码均未展示头文件stdio.h的声明，使用时请自行添加。
  

前言

  在了解时间复杂度之前，先向大家科普一个大环境知识。
  当今时代的科学技术，让计算机在面对执行指令是可以以一个夸张的速度进行执行，也就是我们口中对于计算机设备的频率，下面引入一段代码：

void test01()
{
	int begin = clock();
	int x = 0;
	for (int i = 0; i < 100000000; i++)
	{
		++x;
	}
	int end = clock();
	int time = end - begin;
	printf("x = %d\n", x);
	printf("time = %d ms\n",time);
}
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  在如上代码中，我们看到即使我们需要将这个循环执行一亿次，但在计算机设备的加持下，不到一秒就出了结果，可见其执行效率之高。

一. 时间复杂度

1.1 时间复杂度的概念

  时间复杂度的定义：
  在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。
  更加通俗的来讲就是：找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度。

1.2 时间复杂度如何计算

  我们照样以实例作为参考：

// 请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？
void Func1(int N)
{
	int count = 0;
	for (int i = 0; i < N; ++i)
	{
		for (int j = 0; j < N; ++j)
		{
			++count;
		}
	}
	for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
	{
		++count;
	}
	int M = 10;
	while (M--)
	{
		++count;
	}
		printf("%d\n", count);
}
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  我们将它转化为一个数学表达式

                    F(N) = N² ＋ 2 × N ＋ 10

  在计算时间复杂度时我们将数学表达式中的影响最大的部分摘下来，并将复杂度写作O( N² )

  这时就会有同学问了，上面不是讲到复杂度时基本语句的执行次数的问题吗？为什么上面代码中 count 和 M的定义语句不添加到其中呢？
  在前言中我们讲到，如今的计算机设备执行速率已经十分快速，对于其中的一些细枝末节的语句执行次数我们可以忽略不计，除非他的数量大到可以占到总体的一半以上，否则不添加到计算当中，此时我们就可以引入数学中的极限思想，当上述表达式中N趋近于无穷时，看其最高阶项，其他的在最高阶面前都可忽略不计，因为它太太太小了。

1.3 时间复杂度如何表示

  大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。
  推导大O阶方法：

  1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

  2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

  3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

  另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

  最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)

  平均情况：任意输入规模的期望运行次数

  最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)

  例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x

  最好情况：1次找到

  最坏情况：N次找到

  平均情况：N/2次找到

  在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)。

二. 常见复杂度举例

  有意思的是，在数据结构学习中，复杂度log N一般代表的都是以 2 为底的对数，只有当底数为 2 时才可以省略，反之不可以省略，但不是二的情况很少出现，因为其实用价值并不高。

三. 结语

  十分感谢您观看我的原创文章。
  本文主要用于个人学习和知识分享，学习路漫漫，如有错误，感谢指正。
  如需引用，注明地址。