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详解数据结构：队列（含栈与队列扩展）

作者：繁依Fanyi0 | 2024-04-30 19:26:11

踩

详解数据结构：队列（含栈与队列扩展）

一、顺序队列

有一种线性序列，特点是先进先出，这种存储结构称为队列。队列也是一种线性表，只不过它是操作受限的线性表，只能再两端操作：一端进、一端出。进的一端称为队尾，出的一端称为队头。队列可以用顺序存储，也可以使用链式存储。

1、顺序队列的定义

队列的顺序存储采用一段连续的空间存储数据元素，并用两个整型变量记录队头和队尾元素的下标。顺序存储方式的队列如下图：

顺序队列的结构体定义如下：


typedef  struct SqQueue{
    ElemType *base; //空间基地址
    int front,rear; //头指针,尾指针
}SqQueue;

说明：

ElemType是指元素类型，需要什么类型就写什么类型。
typedef将结构体等价于类型名SqQueue。

顺序队列定义好了之后，还要先定义一个最大分配空间，顺序结构都是如此，需要预先分配空间，因此可以采用宏定义。

#define Maxsize 100

上面的结构体定义采用了动态分配的形式，也可以采用静态分配的形式，使用一个定长数组存储数据元素，用两个整型变量记录队头和队尾元素的下标。静态分配的顺序队列结构体定义如下：


typedef  struct SqQueue{
    ElemType data[Maxszie]; //定长数组
    int front,rear; //头指针,尾指针
}SqQueue;

注意：队列只能在一端进，一端出，不允许在中间查找、取值、插入、删除等操作，先进先出是人为规定的，如果破坏规则，就不是队列了。

完美图解：

假设现在顺序队列Q分配了6个空间，然后继续入队和出队操作。

注意：Q.front和Q.rear都是整型下标。

（1）开始时为空队，Q.front=Q.rear。如下图

（2）元素a1入队，放入队尾Q.rear的位置，然后Q.rear后移一位。

（3）元素a2入队，放入队尾Q.rear的位置，然后Q.rear后移一位。

（4）元素a3、a4、a5分别按顺序入队，队尾Q.rear依次后移。

（5）元素a1出队，队头Q.front后移一位。

（6）元素a2出队，队头Q.front后移一位。

（7）元素a6进队，放在队尾Q.rear的位置，然后Q.rear后移一位。

（8）元素a7入队，此时队尾Q.rear已经超过了数组的最大下标，无法再进队，但是前面还有两个空间却出现了队满的情况，这种情况称为“假溢出”。

解决方法：上面第七步元素a6进队之后，队尾Q.rear要后移一个位置，此时已经超过了数组的最大下标，即Q.rear+1=Maxsize（最大空间为6），那么如果前面有空闲，Q.rear可以转向前面下标为0的位置。

元素a7进队，放入队尾Q.rear的位置，然后Q.rear后移一位。

元素a8入队，放入队尾Q.rear的位置，然后Q.rear后移一位。

这时，虽然队列空间存满了，但是出现了一个大问题！当队满了，Q.front=Q.rear，这和队空的条件一模一样，这样无法区分到底是队空还是队满。

解决办法：

设置一个标志，标记队空和队满；
浪费一个空间，当队尾Q.rear的下一个位置是Q.front时，就认为是队满。

上述到达尾部又向前存储的队列称为循环队列，为了避免“假溢出”，顺序队列往2、往采用循环队列。

2、循环队列的定义

首先简述循环队列队空、队满的判定条件，以及出队、队列元素个数计算等基本操作方法。

（1）队空

无论队头和队尾在什么位置，只有Q.rear和Q.front指向同一个位置，就认为队空。如果将循环队列中的一维数组画成环形图，队空的情况如下图：

循环队列空的判定条件为Q.front==Q.rear。

（2）队满

在此采用浪费一个空间的方法，当队尾Q.rear的下一个位置Q.front时，就认为是队满。但是Q.rear向后移动一个位置(Q.rear+1)后，就很有可能超出数组的最大下标，这时它的下一个位置应该是0。

图中，队列的最大空间是Maxsize，当Q,rear=Maxsize-1时，Q.rear+1=Maxszie。而根据循环队列的规则，Q.rear的下一个位置是0。可以考了取余运算，即(Q.rear+1)%Maxsize=0。而此时Q.front=0，即(Q.rear+1)%Maxsize=Q.front，此时为队满的临界状态。

在上图中，加入最大空间数Maxsize=100，当Q.rear=1时，Q.rear+1=2，取余后(Q.rear+1)%Maxsize=2，而此时Q.front=2，即(Q.rear+1)%Maxsize=Q.front。队满的一般状态也可以采用此公式判断队满。因为一个不大于Maxsize的数与Maxisze取余运算，结果仍然为该数本身，所以一般状态下，取余运算没有任何影响。只有在临界状态(Q.rear+1=Maxsize)下，取余运算才会变成0.

因此，循环队列队满的判定条件为：(Q.rear+1)%Maxsize=Q.front

（3）入队

入队时，首先将元素x放入Q.rear所指的空间，然后Q,rear后移一位。

入队操作，当Q.rear后移一位，为了处理临界状态(Q.rear+1)=Maxsize，需要加1后取余运算。

代码实现：

Q.base[Q.rear]=e; //新元素插入队尾

Q.rear=(Q.rear+1)%Maxsize; //队尾指针加1

（4）出队

先用变量保存队头元素，然后队头Q.front后移一位。

出队操作，当Q.rear后移一位时，为了处理临界状态(Q.front+1)=Maxsize，需要加1后取余运算。

代码实现：

e=Q.base[Q.front]; //保存队头元素

Q.front=(Q.front+1)%Maxsize; //队头指针加1

注意：循环队列无论使出对还是入队，队尾、队头加1后都要取余运算，主要是为了处理临界状态。

（5）队列元素个数计算

循环队列中到底存了多少个元素，循环队列的内容实际上为Q.front~Q.rear-1这一切邮件的数据元素，但是不可以直接用两个下标相减得到。因为队列是循环的，所以存在两种情况：

①Q.rear≥Q.front

②Q.rear<Q.front

可以看到循环队列中的元素实际上为6个，当两者之差是负数的时候，可以将差值加上Maxsize计算元素个数，即Q.rear-Q.front+Maxsize。

因此在计算元素个数时，可以分为两种情况判断：

①Q.rear≥Q.front：元素个数为Q.rear-Q.front

②Q.rear<Q.front：元素个数为Q.rear-Q.front+Maxsize。

也可以采用取余的方法及那个这两种情况巧妙地统一为一个语句。

队列元素的个数为：(Q.rear-Q.front+Maxsize)%Maxsize。

（6）小结

队空：

Q.front==Q.rear;//Q.rear和Q.front指向同一个位置

队满：

(Q.rear+1)%Maxsize==Q.front;//Q.rear向后移一位正好是Q.front

入队：


Q.base[Q.rear]=e; //新元素插入队尾
 
Q.rear=(Q.rear+1)%Maxsize; //队尾指针加1

出队：


e=Q.base[Q.front]; //保存队头元素
 
Q.front=(Q.front+1)%Maxsize; //队头指针加1

队列中元素个数：

(Q.rear-Q.front+Maxsize)%Maxsize。

3、循环队列的基本操作

循环队列的基本包括初始化、入队、出队、取队头元素、求队列长度。

（1）初始化

初始化循环队列，首先分配一个大小为Maxsize的空间，然后令Q.rear=Q.front=0，即队头和队尾为0，队列为空。

代码实现：


bool InitQueue(SqQueue &Q)//注意使用引用参数，否则出了函数，其改变无效
{
    Q.base=new int[Maxsize];//分配空间
    if(!Q.base) return false;
    Q.front=Q.rear=0; //头指针和尾指针置为零，队列为空
    return true;
}

（2）入队

入队时，首先判断队列是狗已满，如果已满，则入队失败；如果未满，则将新元素插入队尾，队尾后移一位。

代码实现：


bool EnQueue(SqQueue &Q,int e)//将元素e放入Q的队尾
{
    if((Q.rear+1)%Maxsize==Q.front) //尾指针后移一位等于头指针，表明队满
        return false;
    Q.base[Q.rear]=e; //新元素插入队尾
    Q.rear=(Q.rear+1)%Maxsize; //队尾指针加1
    return true;
}

（3）出队

出队时，首先判断队列是否为空，如果队列为空，则出队失败；如果队列不空，则用变量保存队头元素，然后队头后移一位。

代码实现：


bool DeQueue(SqQueue &Q, int &e) //删除Q的队头元素，用e返回其值
{
    if(Q.front==Q.rear)
        return false; //队空
    e=Q.base[Q.front]; //保存队头元素
    Q.front=(Q.front+1)%Maxsize; //队头指针加1
    return true;
}

（4）取队头元素

取队头元素时，只要把队头元素数据复制一份即可，并未改变队头位置，因此队列中的内容没有改变。

代码实现：


int GetHead(SqQueue Q)//返回Q的队头元素，不修改队头指针
{
    if(Q.front!=Q.rear) //队列非空
        return Q.base[Q.front];
    return -1;
}

（5）求队列的长度

通过前面的分析，我们已经知道循环队列中的元素个数为：(Q.rear-Q.front+Maxsize)%Maxsize，循环队列中元素个数即为循环队列的元素。

代码实现：


int QueueLength(SqQueue Q)
{
    return (Q.rear-Q.front+Maxsize)%Maxsize;
}

二、链队列

队列除了用顺序存储，也可以用链式存储。

顺序队列是分配一段连续的空间，用两个整型下标front和rear分别指向队头和队尾。而链队列类似一个单链表，需要两个指针front和rear分别指向队头和队尾。从队头出列，从队尾入队，为了出队时删除元素方便，可以增加一个头结点。

注意：链队列需要头结点。

因为链队列是一个单链表的形式，因此可以借助单链表的定义。

链队列中节点的结构体定义如下：


typedef  struct Qnode{
  int data;
  struct Qnode *next;
}Qnode,*Qptr;
链队列的结构体定义如下图：
typedef struct{
  Qnode *front;
  Qnode *rear;
}LinkQueue;

链队列的操作和单链表一样，只不过他只能队头删除，在队尾插入，是操作受限的单链表。

1、初始化

链队列的初始化，即创建一个头结点，头指针和尾指针指向头结点。

代码实现：


void InitQueue(LinkQueue &Q)//注意使用引用参数，否则出了函数，其改变无效
{
    Q.front=Q.rear=new Qnode; //创建头结点，头指针和尾指针指向头结点
    Q.front->next=NULL;
}

2、入队

先创建一个新节点，将元素e存入该节点的数值域。

然后将新节点插入队列，尾指针后移。

赋值解释：

①Q.rear->next=s：把s节点的地址赋值给队尾节点的next域，即尾节点的next指针指向s。

②Q.rear=s：把s节点的地址赋值给尾指针，即尾指针指向s，尾指针永远指向队尾。

代码实现：


void EnQueue(LinkQueue &Q,int e)//将元素e放入队尾
{
    Qptr s;
    s=new Qnode;
    s->data=e;
    s->next=NULL;
    Q.rear->next=s;//新元素插入队尾
    Q.rear=s;     //队尾指针后移
}

3、出队

出队相当于删除第一个元素，即将第一个元素节点跳过去。首先用p指针指向第一个数据节点，然后跳过该节点，即Q.front->next=p->next。

若队列中只有一个元素，删除后需要修改尾指针。

代码实现：


bool DeQueue(LinkQueue &Q,int &e) //删除Q的队头元素，用e返回其值
 
{
 
    Qptr p;
 
    if(Q.front==Q.rear)//队空
 
        return false;
 
    p=Q.front->next;
 
    e=p->data;     //保存队头元素
 
    Q.front->next=p->next;
 
    if(Q.rear==p) //若队列中只有一个元素，删除后需要修改队尾指针
 
        Q.rear=Q.front;
 
    delete p;
 
    return true;
 
}

4、取队头元素

队头元素实际上是Q.front->next指向的节点，即第一个数据节点，队头元素就是该节点的数据域存储的元素。

代码实现：


int GetHead(LinkQueue Q)//返回Q的队头元素，不修改队头指针
 
{
 
    if (Q.front!=Q.rear) //队列非空
 
        return Q.front->next->data;
 
    return -1;
 
}

三、栈和队列的应用

1、数制的转换

题目：将一个十进制数n转换为二进制数

解题思路：十进制转换为二进制，可以采用辗转相除法，取余数的方法得到。例如十进制数11转二进制，先求余数11%2=1，求商11/2=5，然后用商5求余数，求商，直到商为0，结束。

先求出的余数是二进制的低位，后求出的余数是二进制的高位，将得到的余数逆序输出就是所要的二进制数，逆序输出正号符合栈的先入后出的性质，因此可以借助栈来实现。

算法步骤：

初始化一个栈。
如果n!=0，将n%2入栈，更新n=n/2。
重复运行第二步，直到n=0为止。
如果栈不空，弹出栈顶元素e，输出e，知道栈空。

完美图解：

十进制11转换为二进制的计算步骤如下：

初始化n=11;
n%2=1，1入栈，更新n=11/2=5;
n%2=1，1入栈，更新n=5/2=2;
n%2=0，0入栈，更新n=2/2=1;
n%2=1，1入栈，更新n=1/2=0;
n=0，算法停止。

入栈过程如下图：

如果栈不空，则一直出栈，出栈过程如下：

出栈的结果正好事十进制数11转化为二进制数1011。

代码实现：


void binaryconversion(int n)
 
{
 
    SqStack S;//定义一个栈S
 
    int e;
 
    InitStack(S);//初始化栈
 
    while(n)
 
    {
 
        Push(S,n%2);//将n%2压入栈中
 
        n=n/2;
 
    }
 
    while(!Empty(S))//如果栈不空
 
    {
 
        Pop(S,e);//出栈
 
        cout<<e<<"\t";//输出栈顶元素
 
    }
 
}

算法复杂度分析：

每次取余后除以2，n除以2多少次变为1那么第一个while语句就执行了多少次，假设执行了x次，则n/2x=1，x=log2n，因此复杂度为为O(log2n)，使用的栈空间大小也是log2n，空间复杂度也是O(log2n)。

2、回文判定

题目：回文是指正反读均相同的字符序列，也就是字符串沿中心线对称。写一算法判定给定的字符串是否为回文。

解题思路：回文是中心对称的，可以将字符串前一半入栈，然后，栈中元素和字符串后一般进行比较。即将第一个出栈元素和后一半中第一个字符比较，如相等，则再将出栈一个元素与后一个字符比较……直到栈空为止，则字符序列为回文。在出栈元素与串中字符比较不等时，则字符序列不是回文。

算法步骤：

初始化一个栈S。
求字符串长度，将前面一半的字符串依次入栈S。
如果栈不空，弹出栈顶元素e，与字符串后一半元素比较。若n为激素，则跳过中心点，比较中心点后面的元素。如果元素相等，则继续比较直到栈空，返回true；如果元素不等，则返回false。

完美图解：

代码实现：


bool palindrome(char *str)//判断字符串是否为回文
 
{
 
    SqStack S;//定义一个栈S
 
    int len,i;
 
    char e;
 
    len=strlen(str);//返回字符串长度
 
    InitStack(S);//初始化栈
 
    for(i=0;i<len/2;i++)//将字符串前一半依次入栈
 
        Push(S,str[i]);
 
    if(len%2==1)//字符串长度为奇数，跳过中心点
 
        i++;
 
    while(!Empty(S))//如果栈不空
 
    {
 
        Pop(S,e);//出栈
 
        if(e!=str[i])//比较元素是否相等
 
            return false;
 
        else
 
            i++;
 
    }
 
    return true;
 
}

算法复杂度分析：

如果字符串长度为n，将前一半入栈，后一半依次和出栈元素比较，相当于扫描了整个字符串，因此时间复杂度为O(n)，使用栈空间大小是n/2，空间复杂度也为O(n)。

3、双端队列

题目：设计一个数据结构，使其具有栈和队列两种特性。

解题思路：

栈是后进先出，队列是先进先出。

栈是在一端进出，队列是在一端进、另一端出。

允许两端都可以进行入队和出队的队列，就是双端队列。

双端队列是比较特殊的线性表，具有队列两种性质。

循环队列表示的双端队列，可以用环形形象地表达出来。双端队列和普通循环队列地区别如下图。双端队列包括前端和后端，可以从前端进入、前端出队、后端进队、后端出队。

1、双端队列结构体定义

双端队列可以用两个整型变量front和rear分别指向队头和队尾，采用顺序存储。静态分配空间形式地双端队列，其结构体定义如下：


typedef  struct SqQueue{
 
  ElemType base[Maxsize]; //一维数组存储，也可以设置指针动态分配空间
 
  int front,rear; //头指针,尾指针
 
}DuQueue;

注意：在顺序存储中，静态分配空间采用的是以为定长数组存储数据，动态分配空间是在程序运行中使用new动态分配空间。

完美图解

（1）前端进队时，先令Q.front前移一位，再将元素放入Q.front的位置，a、b、c依次从前端进队。

（2）后端进队时，先将元素放入Q.rear的位置，再令Q.rear后移动一位，d从后端进队。

（3）此时d从后端出队，先令Q.rear前移一位，再将Q.rear位置取出。

（4）此时a从后端出队，先将Q.rear前移一位，再将Q.rear的元素取出。

（5）此时c从前端出队，先将Q.front位置元素取出，再令Q.front后移一位。

（6）此时b从前端出队，先将Q.front位置元素取出，再令Q.front后移一位。

因此，a、b、c、d依次进队，可以通过双端队列得到 d、a、c、b的出队顺序。

从上面的图中可以看出以下两个特点：

后端进、前端出或者前端进、后端出体现了先进先出的特点，符合队列的特性。
后端进、后端出或者前端进、前端出提点了后进先出的特点，符合栈的特性。

所以说，循环队列实现的双端队列，具有栈和队列两种性质。

2、双端队列的基本操作

双端队列的基本操作包括初始化、判队满、尾进、尾出、头进、头出、取队头、取队尾、求长度、遍历。

（1）初始化

初始化时，头指针和尾指针为零，双端队列为空。

代码实现：


void InitQueue(DuQueue &Q)//注意使用引用参数，否则出了函数，其改变无效
 
{
 
    Q.front=Q.rear=0; //头指针和尾指针置为零，队列为空
 
}

（2）判队满

当队尾后移一位等于队头，表明队满，队尾后移一位即Q.rear+1，加1后有可能等于Maxsize，此时下一个位置为0，因此为处理临界状态，需要与Maxsize取余运算。队满的临界状态和一般状态如下图：

代码实现：


bool isFull(DuQueue Q)
 
{
 
    if((Q.rear+1)%Maxsize==Q.front) //尾指针后移一位等于头指针，表明队满
 
        return true;
 
    else
 
        return false;
 
}

（3）尾进

尾部进队，即后端进队时，先将元素放入Q.rear位置，然后Q.rear后移一位，后移时为处理边界情况，需要加1后模Maxsize取余。

代码实现：


bool push_back(DuQueue &Q,ElemType e)
 
{
 
    if(isFull(Q))
 
        return false;
 
    Q.base[Q.rear]=e; //先放入
 
    Q.rear=(Q.rear+1)%Maxsize;//向后移动一位
 
    return true;
 
}

（4）尾出

尾部出队，即后端出队时，先将Q.rear前移一位，然后取出元素。前移一位即Q.rear-1，当Q.rear为0时，Q.rear-1为负值，因此加上Maxsize，正好时Maxsize-1的位置。那么，Q.rear-1为正值时，加上Maxsize就超过了下标范围，需要模Maxsize取余。

尾出时，Q.rear前移一位的处理如下图所示。

代码实现：


bool pop_back(DuQueue &Q,ElemType &x)
 
{
 
    if(isEmpty(Q))
 
        return false;
 
    Q.rear=(Q.rear-1+Maxsize)%Maxsize;//向前移动一位
 
    x=Q.base[Q.rear]; //取数据
 
    return true;
 
}

（5）头进

头部进队时，即前端进队时，先将Q.front前移动一位，然后将元素放入Q.front位置。队头前移一位即Q.front-1，前移时为处理边界情况，需要加Maxsize再模Maxsize取余。和尾出的前移处理一样。

代码实现：


bool push_front(DuQueue &Q,ElemType e)
 
{
 
    if(isFull(Q))
 
        return false;
 
    Q.front=(Q.front-1+Maxsize)%Maxsize;//先向前移动一位
 
    Q.base[Q.front]=e; //后放入
 
    return true;
 
}

（6）头出

头部进队，即前端出队时，先取出元素，然后Q.front后移一位，即Q.front+1，后移时为处理边界情况，需要模Maxsize取余。

代码实现：


bool pop_front(DuQueue &Q,ElemType &x)
 
{
 
    if(isEmpty(Q))
 
        return false;
 
    x=Q.base[Q.front]; //取数据
 
    Q.front=(Q.front+1)%Maxsize;//向后移动一位
 
    return true;
 
}

（7）取队头

取队头是将Q.front位置的元素取出来，Q.front未改变。

代码实现：


bool get_front(DuQueue Q,ElemType &x)
 
{
 
    if(isEmpty(Q))
 
        return false;
 
    x=Q.base[Q.front]; //取队头数据;
 
    return true;
 
}

（8）取队尾

因为Q.rear指针永远指向空，因此取队尾时，取Q.rear前面的那个位置，要想得到前面位置，为处理边界情况，需要加Maxsize再模Maxsize取余。注意：取队尾时，尾指针不移动。

代码实现：


bool get_back(DuQueue Q,ElemType &x)
 
{
 
    if(isEmpty(Q))
 
        return false;
 
    x=Q.base[(Q.rear-1+Maxsize)%Maxsize];
 
    return true;
 
}

（9）求长度

和普通循环队列求长度的方法一样，都是从队头到队尾之间的元素个数。因为循环队列减法有可能有负值，因此需要加入Maxsize再模Maxsize取余。

代码实现：


int length(DuQueue Q)
 
{
 
    return (Q.rear-Q.front+Maxsize)%Maxsize;
 
}

（10）遍历

双端队列的遍历，即从头到尾输出整个队列的元素，在输出过程中，队头和队尾元素并不移动，因此借助一个暂时变量即可。

代码实现：


void traverse(DuQueue Q)
 
{
 
    if(isEmpty(Q))
 
    {
 
       cout<<"DuQueue is empty"<<endl;
 
       return ;
 
    }
 
    int temp=Q.front;//设置一个暂存变量，头指针未移动
 
    while(temp!=Q.rear)
 
    {
 
       cout<<Q.base[temp]<<"\t";
 
       temp=(temp+1)%Maxsize;
 
     }
 
     cout<<endl<<"traverse is over!"<<endl;
 
}

此外，还有另外两种方法：

（1)输出受限的双端队列

允许在一端进队和出队，另一端只允许进队，这样的双端队列称为输出受限的双端队列。

（2）输入受限的双端队列

允许在一端进队和出队，另一端只允许出队，这样的双端队列称为输入受限的双端队列。

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