量子计算基础(学习笔记)_复数 量子计算

量子计算基础

我是大自然的搬运工！

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一.矢量空间

   一个矢量空间是由一组完备的线性无关的基矢的线性组合所生成的空间，这个矢量空间里的每一个矢量的元素都是复数（也包括实数），因为实数是特殊的复数。狄拉克利用线性代数表示量子力学的矢量空间，接下来对一些基本概念作一些阐释。


态矢：也称右矢（态），是一个复数列向量，其共轭转置为左矢，两者都用来描述量子系统所处的状态;但描述的是一个量子系统。

归一化：将矢量转化为单位矢量（模为1）的一种操作;
内积：有了内积的空间就有了角度的概念，可以对比两个实数向量的点乘;
正交：两个矢量的内积为0，则这两个矢量正交;
正交归一基：一组基内任意一个矢量都与其他矢量正交;
外积：得到的是一个矩阵;
表象：线性代数中的极大无关组。
谱分解：

上述方程表示对算符 M 的谱分解。
算符：算符使问题从一种状态变为另一种状态，在矢量空间表现为使一种态变成另一种态；
比如:

其中 A 为矩阵，是一种算符,|w⟩和|$\alpha$⟩都为右矢。
本征值和本征矢量：对于一个线性算符 A，

这和特征值与特征向量是类似的，只不过本征值是复数罢了，一般而言只讨论方阵中的情况，如果非方阵则涉及到了奇异值分解（SVD）。

1.希尔伯特空间

（线性）完备的内积空间称为希尔伯特空间。

• 什么是线性？
  在一个线性空间中，只要知道了一组极大的线性无关的基就可以通过数乘和加法来表示这个空间中的任意一个元素。
• 什么是完备性？
  先想象一个二维平面，这个二维平面没有直角坐标系中的原点，但是在这个二维平面上的任意两个点你都可以求出它们之间的距离，这样的二维平面可以看成一个度量空间。如果在一个度量空间里的柯西序列的极限收敛于该度量空间内的一个点，那么这个度量空间是完备的。
• 什么是内积空间？
  具有内积运算的线性空间称为内积空间。

    所以完备的内积空间就是：如果知道这个空间的一组矢量完备集（表象），那么这个空间内的任意一个矢量都可以由这组基矢的数乘和加法得到，并且这个空间里的任意两个矢量都具有内积运算。
    希尔伯特空间是难以用图像表现出来的，因为一个基矢就需要刻画一个复平面。一维希尔伯特空间需要刻画一个复平面，这是二维；二维希尔伯特空间需要刻画两个正交的复平面，这是四维，而四维的感觉是难以画出来的。

2.一些重要的（线性）算符

• 量子门：
      首先说一下量子比特，一个量子比特是一个二维复数希尔伯特空间内态矢，为什么要说是二维复数希尔伯特空间？因为根据叠加原理，一个量子比特可以写成下面的形式：
  
  其中系数为复系数，且它们的平方和等于1，复系数的平方为叠加态坍缩到0和1的概率(幅)，另外：
  
      操作n个单量子比特（量子位）的门是一个2ⁿ $\times$ 2ⁿ的幺正矩阵。
  
  
  
  一位门：
  X门：反转作用
  
  
  H（hadamard）门：使一个态变成两个态的叠加态。
  
  
  Y门：
  
  Z门：
  
  相位门：
  它保留基本状态 |0⟩并且将 |1⟩换成 e^iθ|1⟩。
  
  
  
  
  二位门：
  互换门：
  
  控制非门：如果第一个量子比特为|1⟩，则将第二个量子比特反转。
  
  
  
  
  三位门：
  Toffoli
      如果前两个量子比特为都为|1⟩，那么将第三个量子比特反转。
  
  
  
  
  万能量子门集合：任意一个量子线路都可以用万能量子门集合中的量子门做出来，这也说明万能量子门集合是完备的。
  
  
  
• 幺正算符（酉矩阵）
  U U ^†⁡= U^†⁡U=I
  "†"表示共轭转置，U 为幺正算符，显然，幺正算符的共轭转置就是它的逆算符。
• 厄米算符
  满足
  
  其中 A 与 A^†互为厄米算符，这意味着拥有下面这条性质：
  
• 投影算符
      这也是很经典的一个线性变换了，在线性代数中，常常会左乘一个矩阵对一个向量进行各种变换，顾名思义，投影算符作用在一个右矢，会让其投影到 另一个右矢所指的方向上，但是投影算符没有逆算符，因为投影算符相当于是降维，它的行列式为0。
• 密度算符
      在一个量子系统里，量子系统会有一定的概率处于某个态，这个态的外积和对应概率的乘积为一个矩阵，这样的矩阵相加起来就是密度算符，具体表现为：
  
  ρ为密度算符。
      由此还引入了纯态的概念，简单来说，一个只能处于一种状态的量子系统就是一个纯态，那么对应的，一个可以处于多种状态的量子系统是混合态。

3.张量和张量积

• 张量积
  两个张量的线性叠加：矢量空间的张量积和矢量的张量积。
  比如两个一维张量：|0⟩和|1⟩的张量积为：
  

• 张量：可理解为多维数组。
  0维张量是一个标量；
  一维张量是一个矢量；
  二维张量是一个矩阵；
  三维张量是一个由多个矩阵平行放置形成的立方体，可以想一想面包片（矩阵）和面包块（立方体）；
  然后每往后三维，就会把对应的立方体当做一个标量（三维张量），堆叠起来的立方体当做矢量（四维张量），接着是将立方体处理成矩阵的样子（五维张量）以及处理成一个更高维度的正方体（六维张量），依次类推。

二.量子态纠缠与量子态叠加

    量子叠加态就是一个量子能在同一时间处于两种不同属性0和1的状态（比如粒子的左旋和右旋），如果量子力学系处于两个态中，则系统可能处于这两个态的线性组合得来的态中。即
并且一般有两个复系数的平方和为1。
量子态纠缠与量子态叠加的区别与联系：如果

那么量子态|α⟩与|β⟩相互纠缠，表现在量子比特上就是：量子比特的叠加状态无法用各量子比特的张量积表示。

量子测量

   与经典物理中的测量不同， 量子测量不是独立于所观测的物理系统而单独存在的， 相反，测量本身即是物理系统的一部分，所作的测量会对系统的状态产生干扰。
    对于一个由状态|φ⟩描述的量子系统，可以由一组测量算符{M_m } 描述，这些测量算符之和为一个单位矩阵。
测量之前：量子系统处于每一种状态的概率 p_i为相应态前面系数的平方；
测量之后：比如：

上图中或者后面应该是使用M₁进行测量，这里写错了，可以自己算一下验证结果。

量子系统在测量后会投影到某一个态生成的空间里去，就是说最后一定会处于某一个状态。
1. 投影测量
    投影测量关键在于将一个系统状态空间上的一个代表可观测量的厄米算符 M 进行谱分解出多个测量算符 p_m,这个测量算符实际上是厄米算符 M 朝着对应本征值生成的本征子空间的投影，那么接下来就好办了，把上面讲的测量算符{M_m } 换成{p_m}就行了。
2. POVM测量

量子算法

1.Shor算法
2.Grover搜索算法
3.HHL算法

三.总结

感觉在秃头的路上愈行愈远……

    量子计算很多概念是和线性代数一样的，我相当于把一些量子计算的基础知识简单过了一遍，然后再对某些块进行了一定程度的拓展，到现在，对于量子叠加和量子纠缠以及并行运算还感到有些模糊，划删除线的地方以及如果有哪些知识以后学到了会再回来补充，另外文章中如果有错误的地方，还望指正。

四.附加

1.复合系统假设

    复合系统假设在前面已经提到过，孤立的复合系统的量子态所在的希尔伯特空间是子系统的量子态所在的希尔伯特空间的张量积（直积），需要注意的是，希尔伯特空间的张量积不等于量子态的张量积。

2.量子傅里叶变换

已更新

3.以量子叠加为物理基础的并行运算

    假设有一个提供输入和输出的机器，当你将一个叠加态作为输入，最后会输出各个态的线性组合，只对叠加态进行一次计算相当于对各个线性独立的态同时进行一次运算。

4.再一次理解叠加态，纠缠态和坍缩

    当观测到一个叠加态的信息时，能够得到一个合理的结果，叠加态里各个状态都是真实存在的，可以简单理解成一排分开且相互平行的各自不一样的面包片（不同态），面包片始终在那里，这些面包片在一起就是信息，你知道这些面包片的存在但是因为你拿眼罩蒙着眼睛并没有实际看到它们（这些信息就是叠加态），而一旦你要摘下眼罩，因为有人只打算给你吃一片，然后在你摘下眼罩的一瞬间随便留一片给你就溜了（坍缩，坍缩会导致信息丢失），这个随便真的还就是随便，它的概率就是前面所说的对应态前复系数的平方了。至于纠缠态，我记得前几天在我打开门准备出门时，一条狗突然出现并溜进了家门，我准备把它弄出去，然后我盯着它，我往前走一步，它就动一下，所以可以理解成敌不动我不动，量子纠缠态就是满足一定条件的情况下一个量子的行为将会影响到另一个量子的状态。

5.量子电路

注：在这里纠正一下，我在前面所说的一个态的前面复系数的平方即为系统被观测后处于这个态的概率，错误的地方在于复系数的平方一般仍是复数，所以，不是复系数的平方，而是复系数和它的共轭的乘积。