PID控制算法

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前言

PID即：Proportional（比例）、Integral（积分）、Differential（微分）的缩写。PID控制算法是结合比例、积分和微分三种环节于一体的控制算法。PID是闭环控制算法中最简单的一种，常应用于温度、电机控制等等。

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原理

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公式推导

PID公式：
$$u(t)=K_p[e(t)+\frac{1}{T_i}{\int }_0^{t}e(t)\mathrm{d}t+T_d\frac{\mathrm{d}e(t)}{\mathrm{d}t}]\text{\hspace{1em}(1)}$$

其中$K_p$为比例系数，$T_i$为积分时间，$T_d$为微分时间。

看公式就可以看出这是比例部分、积分部分和微分部分的加和，因此称为PID(proportion, integration, differential)。

在实际应用中，我们需要将该连续公式转化为离散公式，因此我们需要进行一下替换：

连续时间t $⟶$ 采样时间kT

积分$⟶$ 求和: ${\int }_0^{t}e(t)\mathrm{d}t$ $⟶$ $T{\sum }_{j=0}^{k}e(jT)$

微分$⟶$ 单位差值： $\frac{\mathrm{d}e(t)}{\mathrm{d}t}$ $⟶$ $\frac{e_k-e_{k-1}}{T}$

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因为我们得到离散化的公式：
$$u(k)=K_{p}e(kT)+K_i\sum _{j=0}^{k}e(jT)+K_d(e(kT)-e((k-1)T))\text{\hspace{1em}(2)}$$

其中$K_i=\frac{K_{p}T}{T_i}$，$Kd=\frac{K_p{T}_d}{T}$。

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位置式PID

上面得到的公式，计算的值就是位置式PID，是当前负载应该输出的值。

比例项是对输出量起决定性作用的，当前值与目标值差值越大，则比例项越大。

需要注意的是，公式中包含积分成分，因此仅适用于不包含积分效果的负载，即实时响应的，比如发热块。

并且在使用时，需要设置积分最大值，因为当误差一直为正时，积分项一直在累加，会导致积分项很大，当误差为负时，此时积分项不能及时减去，导致超调。

微分项的作用是抑制变化，误差为正时，微分项为负，误差为负时，微分项为正。微分具有预测的功能，它体现的是检测值的变化趋势，适当的值有利于稳定目标值。

注：在调整PID参数时，应该先调P，再调I，最后调整D。

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增量式PID

顾名思义增量式就是当前输出量相比上一刻的输出量应该增加的值。

由公式2可以得出上一刻的公式：
u ( k − 1 ) = K p e ( ( k − 1 ) T ) + K i ∑ j = 0 k − 1 e ( j T ) + K d ( e ( ( k − 1 ) T ) − e ( ( k − 2 ) T ) ) (3) u(k-1) = K_pe((k-1)T) + K_i\sum_{j=0}^{k-1}e(jT) + K_d(e((k-1)T) - e((k-2)T)) \tag{3} u(k−1)=Kp​e((k−1)T)+Ki​