动态规划经典题目-最小权三角剖分_设a是顶点为1,2,…n的凸多边形,可以用不在内部相交的n-3条对角线将a划分成三角形,

一、题目描述

设A是顶点为0，1，…，n-1的n凸多边形，可以用不在内部相交的n-3条对角线将A划分成三角形，如下图就是5边形的所有的划分方案.假设凸n边形的边及对角线的长度d_ij，都是给定的正整数，0≤i<j≤n-1.划分后三角形ijk的权值等于其周长，求具有最小权值的划分方案.设计一个动态规划算法求解这个问题，说明算法的时间复杂度.

示例1：

输入：d = [  
			[0,2,3,1,5,6],
			[2,0,3,4,8,6],
			[3,3,0,10,13,7],
			[1,4,10,0,12,5],
			[5,8,13,12,0,3],
			[6,6,7,5,3,0]
		  ]
输出：54
1
2
3
4
5
6
7
8
9

二、解题思路

1. 定义状态

​

​ 为了应用动态规划，我们需要将多边形切成小块.可以观察到，所输入的多边形每条边都肯定只能归属于一个三角形.将这条边要变为一个三角形意味着得确定第三个顶点，如上图所示.一旦我们找到正确的连接顶点，多边形的剩余部分就会被划分为两个小块，而这两块都需要进行最优的三角剖分.令dp[i][j]为从顶点v_i到顶点v_j进行三角剖分所需的费用，计入从v_i到v_j的弦长.递推式如下：

$$dp[i][j]=min(dp[i][k]+dp[k][j]+d_{ik}+d_{kj}+d_{ij})$$

2. 定义状态转移方程

• 当j - i = 1时，有

​ $$dp[i][j]=0$$

• 当j - i > 1时，有

  $$dp[i][j]=min(dp[i][k]+dp[k][j]+d_{ik}+d_{kj}+d_{ij}),i<k<j$$

3. 初始化

​ 当j - i = 1时，有$$dp[i][j]=0$$

4. 计算方式

​ 自底向上，自左向右计算dp数组

三、代码实现

/**
 * 最小三角权剖分
 *
 *  @author hh
 *  @date 2021-5-24 23:35
 */
public class MinWeightTriangulation {

    public int minWeight(int[][] d){
        int[][] dp = new int[d.length][d[0].length];
        for(int i = d.length - 1; i >= 0; i--){
            for(int j = 0; j < d[0].length; j++){
                if(j - i == 1){
                    dp[i][j] = 0;
                    continue;
                }
                dp[i][j] = Integer.MAX_VALUE;
                for(int k = i + 1; k < j; k++){
                    dp[i][j] = Math.min(dp[i][j],dp[i][k] + dp[k][j] + d[i][k] + d[k][j] + d[i][j]);
                }
            }
        }
        return dp[0][d[0].length -1];
    }

    public static void main(String[] args){
        int[][] d = new int[][]{
                {0,2,3,1,5,6},
                {2,0,3,4,8,6},
                {3,3,0,10,13,7},
                {1,4,10,0,12,5},
                {5,8,13,12,0,3},
                {6,6,7,5,3,0}
        };
        MinWeightTriangulation minWeightTriangulation = new MinWeightTriangulation();
        System.out.println(minWeightTriangulation.minWeight(d));
    }
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38

四、执行结果

五、思考

​ 本题和字符串切分、矩阵链乘法的做法非常相似,也是非常经典的，都是对dp数组进行线性划分，读者有时间可以看我的另一篇文章动态规划经典题目-字符串切分、动态规划经典题目-矩阵链乘法，进行举一反三。