灰色关联模型

一、灰色关联模型

1.1 灰色关联分析模型概述

灰色关联分析是一种多因素统计方法，是灰色系统理论的一个重要分支。与传统的多因素统计方法（回归分析、方差分析等）相比，灰色关联分析对样本量的多少和样本有无明显的规律要求较低，且计算量小，通常不会出现量化结果与定性分析结果不符的情况，因此应用十分广泛。其基本思想是通过计算主因子序列和每个行为因子序列之间的灰色关联度，来判断因子之间关系的强度、大小和顺序。主因子序列和行为因子序列之间的灰色关联度越大，则它们的关系越紧密，行为因子序列对主因子序列的影响越大，反之亦然。

1.2 灰色关联分析模型的基本步骤

第一步：确定反映系统行为特征的参考序列$X^{\left(0\right)}$和影响系统行为的比较序列 $X^{\left(m\right)}$：
其中反映系统行为特征的数据序列为参考序列为：
X 0 = { X 0 ( 1 ) , X 0 ( 2 ) , . . . , X 0 ( n ) } X_0=\{X_0\left( 1 \right) ,X_0\left( 2 \right) ,...,X_0\left( n \right) \} X0​={X0​(1),X0​(2),...,X0​(n)}

影响系统行为的因素组成的数据序列为比较序列为：
X 1 = { X 1 ( 1 ) , X 1 ( 2 ) , . . . , X 1 ( n ) } X 2 = { X 2 ( 1 ) , X 2 ( 2 ) , . . . , X 2 ( n ) } ⋮ X m = { X m ( 1 ) , X m ( 2 ) , . . . , X m ( n ) }

$$\begin{array}{l} X_1=\{X_1\left( 1 \right) ,X_1\left( 2 \right) ,...,X_1\left( n \right) \}\\ X_2=\{X_2\left( 1 \right) ,X_2\left( 2 \right) ,...,X_2\left( n \right) \}\\ \vdots\\ X_m=\{X_m\left( 1 \right) ,X_m\left( 2 \right) ,...,X_m\left( n \right) \}\\ \end{array}$$ X1​={X1​(1),X1​(2),...,X1​(n)}X2​={X2​(1),X2​(2),...,X2​(n)}⋮Xm​={Xm​(1),Xm​(2),...,Xm​(n)}​

第二步：求各序列的初值像(进行无量纲化处理)。令
X ′ = X i / X i ( 1 ) = { X i ′ ( 1 ) , X i ′ ( 2 ) , . . . , X i ′ ( n ) } X'=\text{X}_{\text{i}}/X_i\left( 1 \right) =\{X'_i\left( 1 \right) ,X'_i\left( 2 \right) ,...,X'_i\left( n \right) \} X′=Xi​/Xi​(1)={Xi′​(1),Xi′​(2),...,Xi′​(n)}
其中$i=0,1,2,...,m$

得到
$$X_0^{\prime },X_1^{\prime },...,X_m^{\prime }$$

第三步：求 $X_0$与 $X_i$的初值像对应分量之差的绝对值序列。
记
$${\Delta }_i\left(k\right)=\left|X_0^{\prime }\left(k\right)-X_i^{\prime }\left(k\right)\right|$$
$${\Delta }_i=\left({\Delta }_i\left(1\right),{\Delta }_i\left(2\right),...,{\Delta }_i\left(n\right)\right)i=1,2,...,m;\text{k}=1,2,...,n$$
第四步：求${\Delta }_i\left(k\right)=\left|X_0^{\prime }\left(k\right)-X_i^{\prime }\left(k\right)\right|$的最小值与最大值。分别记为
$${\Delta }_{\min }=\underset{i}{\min }\underset{k}{\min }{\Delta }_i\left(k\right)$$
$${\Delta }_{\max }=\underset{i}{\max }\underset{k}{\max }{\Delta }_i\left(k\right)$$
第五步：求关联系数${\xi }_i\left(k\right)$
$${\xi }_{0i}\left(k\right)=\frac{{\Delta }_{\min }+p{\Delta }_{\max }}{{\Delta }_i\left(k\right)+p{\Delta }_{\max }}$$
其中， p为分辨系数，0< p <1，一般取 p=0.5。

第六步：求关联度
$${\gamma }_{0i}=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{\xi }_{0i}\left(k\right)$$
第七步 ：按 ${\gamma }_{0i}$大小排序 ，区分其关联程度的大小，若 ${\gamma }_i$值越大，说明其关联的程度越大；反之 ${\gamma }_i$值越小，则其关联程度越小

1.3 应用

居民消费价格指数主要由八大商品类构成，其中包括：食品、烟酒、衣着、家庭设备用品及维修服务、医疗保健和个人用品、交通和通信、娱乐教育文化用品及服务、居住。根据这八大类，选取重庆居民消费价格指数作为参考序列$X_0$ ，八类消费支出指标作为与之相对应的比较序列$X_i$ ，其中 i = 1,2,…,8

根据灰色关联分析模型计算步骤，将数据导入灰色系统建模软件（专门用于灰色模型的软件），得到如下结果：

参考序列$X^{\left(0\right)}$ 和比较序列$X^{\left(m\right)}$ 的灰色关联度的计算过程如下：

（1）序列初值像：
1.0000 1.0203 0.9942 0.9952 0.9864 0.9816 0.9864 ======$X_0^{\prime }$
1.0000 1.0714 0.9831 0.9775 0.9700 0.9559 0.9831 ======$X_1^{\prime }$
1.0000 0.9942 1.0268 0.9645 0.9377 0.9501 0.9607
1.0000 1.0295 1.0386 1.0803 1.0366 1.0447 1.0407
1.0000 1.0200 1.0070 1.0140 1.0030 0.9980 1.0040
1.0000 0.9951 0.9941 0.9854 0.9922 1.0010 0.9932
1.0000 0.9960 0.9879 0.9879 1.0080 0.9849 1.0111
1.0000 0.9630 0.9825 0.9873 0.9747 0.9854 0.9688
1.0000 0.9839 0.9725 0.9753 0.9639 0.9602 0.9592 ======$X_8^{\prime }$

（2）求 $X_0$与 $X_i$的初值像对应分量之差的绝对值序列。
记
$${\Delta }_i\left(k\right)=\left|X_0^{\prime }\left(k\right)-X_i^{\prime }\left(k\right)\right|$$

0.0000 0.0510 0.0111 0.0177 0.0165 0.0257 0.0033 ----------$|X_0^{\prime }(k)-X_1^{\prime }(k)|={\Delta }_1$
0.0000 0.0261 0.0327 0.0306 0.0488 0.0314 0.0257 ----------$|X_0^{\prime }(k)-X_2^{\prime }(k)|={\Delta }_2$
0.0000 0.0091 0.0444 0.0851 0.0502 0.0631 0.0542
0.0000 0.0004 0.0128 0.0188 0.0166 0.0164 0.0176
0.0000 0.0252 0.0000 0.0098 0.0058 0.0194 0.0067
0.0000 0.0244 0.0062 0.0072 0.0216 0.0033 0.0246
0.0000 0.0573 0.0117 0.0078 0.0118 0.0038 0.0176
0.0000 0.0365 0.0217 0.0198 0.0225 0.0214 0.0272----------$|X_0^{\prime }(k)-X_8^{\prime }(k)|={\Delta }_8$

（3）求${\Delta }_i\left(k\right)=\left|X_0^{\prime }\left(k\right)-X_i^{\prime }\left(k\right)\right|$的最小值与最大值
$${\Delta }_{\min }=\underset{i}{\min }\underset{k}{\min }{\Delta }_i\left(k\right)=0.0000$$
$${\Delta }_{\max }=\underset{i}{\max }\underset{k}{\max }{\Delta }_i\left(k\right)=0.0851$$
（4）关联系数${\xi }_i\left(k\right)$
$${\xi }_{0i}\left(k\right)=\frac{{\Delta }_{\min }+p{\Delta }_{\max }}{{\Delta }_i\left(k\right)+p{\Delta }_{\max }}$$
其中， p为分辨系数，0< p <1，一般取 p=0.5。

1.0000 0.4549 0.7933 0.7064 0.7209 0.6233 0.9273
1.0000 0.6199 0.5658 0.5815 0.4661 0.5751 0.6231
1.0000 0.8235 0.4893 0.3333 0.4591 0.4027 0.4398
1.0000 0.9909 0.7688 0.6934 0.7199 0.7217 0.7080
1.0000 0.6279 0.9991 0.8130 0.8808 0.6871 0.8634
1.0000 0.6359 0.8720 0.8551 0.6633 0.9273 0.6335
1.0000 0.4260 0.7842 0.8449 0.7837 0.9179 0.7076
1.0000 0.5385 0.6623 0.6823 0.6543 0.6651 0.6098

（5） $X_0$与 $X_i$的邓氏关联度
关联度
$${\gamma }_{0i}=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{\xi }_{0i}\left(k\right)$$

0.7466 0.6331 0.564 0.8004 0.8387 0.7982 0.7806 0.6875

（6）按 ${\gamma }_{0i}$大小排序 ，区分其关联程度的大小，若 ${\gamma }_i$值越大，说明其关联的程度越大；反之 ${\gamma }_i$值越小，则其关联程度越小

最后整理得到重庆市消费结构的灰色关联度及其排序

针对重庆居民价格消费指数与各消费分类指数的关联度的排序结果，可以得出结论。