等距变换（欧式变换），相似变换，仿射变换，射影变换

2维空间变换：维数(3*3)

1，等距变换

等距变换是$IR^{2}$，2维欧式空间变换 ，ε=1，等距变换是保向的，此时是欧氏变换(平移和旋转的复合)。ε=−1,等距变换是逆向的。 简单表示

R是正交矩阵。

自由度：3（该变换可以由两组2D点确定，一组提供两个自由度）

不变量： 长度(两点的距离)，角度(两线的夹角)和面职

2，相似变换

相似变换是一个等距变换与一个均匀缩放的复合。简单表示

自由度： 4（多了一个缩放自由度，也可由两组3D点确定）

不变量： 直线的夹角，两长度的比率和面积的比率。 

3，仿射变换

 仿射变换是非齐次坐标下的一个非奇异线性变换与一个平移变换的复合，（即第三行是0,0,1）简单表示

A是一个非奇异，可逆矩阵 。A可以看做是旋转和非均匀缩放的复合。

自由度：6（由3对2D点确定）

不变量： 平行线，平行线段的长度比和面积比。

4，射影变换

它是齐次坐标的一般非奇异线性变换 。射影变换可以分解为相似变换，仿射变换，射影变换的复合

$H=H_{S}H_{A}H_{P }$

自由度：8（9个参数，但是齐次坐标系下，只有比率是有意义的，所以自由度为8，由4对2D点得到，但是3点不能共线）

不变量:  最基本的射影不变量是四共线点的交比

 

3维空间变换：(4*4)

自由度和2维空间的不同。 

参考：https://blog.csdn.net/Hu_weichen/article/details/80245003