使用奇异值分解（SVD）压缩图片（python实现）_基于奇异值分解svd实现图像压缩py代码

奇异值分解压缩图片原理

图片在计算机内以矩阵形式存储，因此可以使用矩阵论知识和算法对数字图像（图片）进行分析与处理。

原理简述

彩色图片有3个图层，分别显示3个通道（红、绿、蓝），彩色图片就是3个图层混合才能表示不同的色彩。对3个图层分别进行奇异值分解，可以选取前k个奇异值进行近似表达（每个矩阵的奇异值是唯一的，矩阵大小跟奇异值数量有关），最后合并3个图层就可以以较少的数据表示原图片（也就是使用多于原图片奇异值数量的奇异值可能会使图片更大）。

SVD

代码实现

import numpy as np
from PIL import Image
import matplotlib.pyplot as plt
import os
 
# 加载原始彩色图像
original_image = Image.open("flower.jpg")
 
# 将图像转换为NumPy数组
image_array = np.array(original_image)
print(f"原图像文件大小{image_array.size} bits\n")
 
# 对每个颜色通道分别进行SVD压缩
def compress_svd(image, k):
    U, S, V = np.linalg.svd(image, full_matrices=False) #分解原图像
    #对原图像的矩阵进行压缩
    compressed_U = U[:, :k]
    compressed_S = np.diag(S[:k])
    compressed_V = V[:k, :]
    compressed_image = np.dot(compressed_U, np.dot(compressed_S, compressed_V)) #对矩阵进行乘法运算，恢复压缩图像
    return compressed_image, compressed_U.size, compressed_S.size, compressed_V.size
   
 
# 设置奇异值列表（不同的压缩级别）
singular_values_list = [1, 50, 100, 200, 500, 1000, 1500, 2000] #奇异值大小跟图像大小（分辨率）有关，越大的分辨率可以使用更大的奇异值
 
# 初始化一个列表以存储压缩后的图像
compressed_images = []
 
# 对每个奇异值进行压缩
for k in singular_values_list:
    compressed_image = np.empty_like(image_array, dtype=np.uint8)   #创建一个形状与原图形同的空矩阵，用于存放压缩后的矩阵乘积
    for channel in range(3):
        compressed_channel, U_size, S_size, V_size = compress_svd(image_array[:, :, channel], k)
        compressed_image[:, :, channel] = compressed_channel
    compressed_images.append(compressed_image)
 
# 将压缩图像转换为Pillow图像对象并保存
for k, compressed_image in zip(singular_values_list, compressed_images):
    compressed_image = Image.fromarray(compressed_image)
    compressed_image.save(f"compressed_image_{k}.jpg")
 
# 计算并打印原图像和压缩图像的文件大小
original_file_size = os.path.getsize("original_image.jpg") * 8  #根据图像像素空间大小计算压缩率
compressed_file_sizes = [os.path.getsize(f"compressed_image_{k}.jpg") * 8 for k in singular_values_list]
 
#计算图片压缩率
for k, compressed_size in zip(singular_values_list, compressed_file_sizes):
    rate = round((original_file_size - compressed_size) / original_file_size, 4) * 100
    compressed_image, U_size, S_size, V_size = compress_svd(image_array[:, :, channel], k)
    #图像传输过程中不是直接传输图像，而是传输图像的矩阵，SVD对图像矩阵进行拆分
    transmit_rate = round((image_array.size - 3 * (U_size + S_size + V_size))/image_array.size, 4) * 100
    print(f"压缩图像 (k={k}) 文件大小: {compressed_size} bits")
    print(f"图像大小压缩率 (k={k}): {rate}%")
    print(f"传输压缩率(k={k}):{transmit_rate}%")
 
# 显示原始图像和8个不同压缩级别的图像
plt.rcParams["font.sans-serif"] = "SimHei"  # 解决中文显示问题
plt.figure()#自适应
# plt.figure(figsize=(10, 8))
 
# 显示原始图像
plt.subplot(3, 3, 1)
plt.title("原始图像")
plt.imshow(original_image)
plt.axis("off")
 
# 显示压缩图像
for i, (k, compressed_image) in enumerate(zip(singular_values_list, compressed_images)):
    plt.subplot(3, 3, i + 2)
    plt.title(f"压缩图像 (k={k})")
    plt.imshow(compressed_image)
    plt.axis("off")
 
plt.tight_layout()
plt.show()

可以看到不同的奇异值对图片的压缩有不同的效果，分辨率越低的图片的奇异值数量越低，过高的奇异值会使图片的大小更大。

上面的代码显示的图片就是SVD对图片压缩的影响，我们可以看到低奇异值压缩得到的图片会有一些花斑，这些花斑是因为图片的像素亮度差较大造成的，如果我们对图像像素的亮度进行归一化，我们就会得到不错的显示效果。下面是加入归一化的代码。

import numpy as np
from PIL import Image
import matplotlib.pyplot as plt
import os
 
# 加载原始彩色图像
original_image = Image.open("flower.jpg")
 
# 将图像转换为NumPy数组
image_array = np.array(original_image)
print(f"原图像文件大小{image_array.size} bits\n")
 
# 对每个颜色通道分别进行SVD压缩
def compress_svd(image, k):
    U, S, V = np.linalg.svd(image, full_matrices=False) #分解原图像
    #对原图像的矩阵进行压缩
    compressed_U = U[:, :k]
    compressed_S = np.diag(S[:k])
    compressed_V = V[:k, :]
    compressed_image = np.dot(compressed_U, np.dot(compressed_S, compressed_V)) #对矩阵进行乘法运算，恢复压缩图像
    normalized_image = normalize_image(compressed_image)  # 对压缩后的图像进行归一化，使用归一化的图像在亮度上会比较均衡，显示效果好
    return normalized_image, compressed_U.size, compressed_S.size, compressed_V.size
 
#对压缩后的图像进行归一化
def normalize_image(image):
    # 将图像矩阵的像素值缩放到0到255的范围内
    min_pixel = np.min(image)
    max_pixel = np.max(image)
    normalized_image = 255 * (image - min_pixel) / (max_pixel - min_pixel)
    # 将浮点数像素值转换为无符号整数（uint8）
    normalized_image = normalized_image.astype(np.uint8)
    return normalized_image
 
# 设置奇异值列表（不同的压缩级别）
singular_values_list = [1, 50, 100, 200, 500, 1000, 1500, 2000] #奇异值大小跟图像大小（分辨率）有关，越大的分辨率可以使用更大的奇异值
 
# 初始化一个列表以存储压缩后的图像
compressed_images = []
 
# 对每个奇异值进行压缩
for k in singular_values_list:
    compressed_image = np.empty_like(image_array, dtype=np.uint8)   #创建一个形状与原图形同的空矩阵，用于存放压缩后的矩阵乘积
    for channel in range(3):
        compressed_channel, U_size, S_size, V_size = compress_svd(image_array[:, :, channel], k)
        compressed_image[:, :, channel] = compressed_channel
    compressed_images.append(compressed_image)
 
# 将压缩图像转换为Pillow图像对象并保存
for k, compressed_image in zip(singular_values_list, compressed_images):
    compressed_image = Image.fromarray(compressed_image)
    compressed_image.save(f"compressed_image_{k}.jpg")
 
# 计算并打印原图像和压缩图像的文件大小
original_file_size = os.path.getsize("original_image.jpg") * 8  #根据图像像素空间大小计算压缩率
compressed_file_sizes = [os.path.getsize(f"compressed_image_{k}.jpg") * 8 for k in singular_values_list]
 
#计算图片压缩率
for k, compressed_size in zip(singular_values_list, compressed_file_sizes):
    rate = round((original_file_size - compressed_size) / original_file_size, 4) * 100
    compressed_image, U_size, S_size, V_size = compress_svd(image_array[:, :, channel], k)
    #图像传输过程中不是直接传输图像，而是传输图像的矩阵，SVD对图像矩阵进行拆分
    transmit_rate = round((image_array.size - 3 * (U_size + S_size + V_size))/image_array.size, 4) * 100
    print(f"压缩图像 (k={k}) 文件大小: {compressed_size} bits")
    print(f"图像大小压缩率 (k={k}): {rate}%")
    print(f"传输压缩率(k={k}):{transmit_rate}%")
 
# 显示原始图像和8个不同压缩级别的图像
plt.rcParams["font.sans-serif"] = "SimHei"  # 解决中文显示问题
plt.figure()#自适应
# plt.figure(figsize=(10, 8))
 
# 显示原始图像
plt.subplot(3, 3, 1)
plt.title("原始图像")
plt.imshow(original_image)
plt.axis("off")
 
# 显示压缩图像
for i, (k, compressed_image) in enumerate(zip(singular_values_list, compressed_images)):
    plt.subplot(3, 3, i + 2)
    plt.title(f"压缩图像 (k={k})")
    plt.imshow(compressed_image)
    plt.axis("off")
 
plt.tight_layout()
plt.show()

进行归一化的图片显示效果更好，但是因为图片亮度趋于中值，因此也会使图片显示效果不像原图。亮的地方变暗，暗的地方变亮。

对SVD的讲解参考了下面的文章：

基于奇异值分解（SVD）的图片压缩实践