《数字图像处理》笔记—空间滤波_有如下核和图像,当核的中心是上面

3.4 空间滤波基础

在空间滤波中，如果对图像像素执行的运算是线性的，则为线性空间滤波器，否则为非线性空间滤波器。本章中的滤波例子主要用于图像增强。

3.4.1 线性空间滤波原理

• 大小为$m\times n$的核对大小为$M\times N$的图像的线性空间滤波可以表示为
  

3.4.2 空间相关和卷积

• 相关运算：在图像中移动核的中心，并在每个位置上计算乘积之和。卷积运算：将相关运算的核旋转180度，当核的值关于其中心对称时，相关和卷积得到的结果相同。
• 为理解相关与卷积的差别，我们在一维上进行示范，对离散单位冲激函数进行相关和卷积操作。可以看到，相关后得到一个核的旋转版本，卷积后得到一个核的副本。
  
  在二维情况下也是如此
  
• 相关操作可以表示为：相关操作不满足交换律和结合律
  
  卷积操作可以表示为：卷积操作满足交换律和结合律，通常我们说的空间滤波视为卷积操作
  

3.4.3 可分离滤波器核

• 空间滤波器核是一个矩阵，如果这个矩阵能表示为两个向量的外积（叉积），那么这个核就是可分离的。如：
  $$w=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right]$$
  可以表示为两个向量的外积：
  $$w=c{r}^T=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\end{array}\right]$$
• 大小为$m\times n$的可分离核可以表示为一个$m\times 1$和一个$n\times 1$的向量。对于大小为$m\times n$的核，在计算中需要$MNmn$次乘法和加法运算。而分离后的核共需要$MN(m+n)$次乘法和加法运算，减少了计算的时间。
• 根据矩阵理论，一个列向量和一个行向量相乘得到的矩阵，其秩总为1。因此要确定一个核是否可分离，只需确定其核为1.

3.4.4 空间域滤波与频率域滤波的一些比较

• 空间域滤波中的卷积等效于频率域中的乘法；空间域中振幅为A的冲激，等效于频率域中值为A的一个常数。
• 图像可以表示为不同频率和振幅的正弦波之和，图像的外观依赖于其正弦分量的频率，改变这些分量的频率将会改变图像的外观。我们可以将图像特征与频率连接起来，例如图像中灰度变化缓慢的区域由低频波表示，边缘和其他急剧的灰度过渡由高频波表示，减少高频分量会使其变得模糊。

3.5 平滑（低通）滤波器

平滑滤波器用于降低灰度的急剧过渡，由于随机噪声通常由灰度的急剧过渡组成，因此平滑的明显应用就是降噪。平滑也可以用于减少图像中的无关细节，另一个应用时平滑因灰度级数量不足而导致的图像的伪轮廓。

3.5.1 盒式滤波器核

• 盒式滤波器也称为均值滤波器，其系数的值相同（为1），前面带有一个归一化的参数（为1除以系数值之和）。使用盒式核时，大小与核相当的图像特征受到的影响较大。由于边界会填充零，平均过程中会加入黑色像素，图像的边界平滑后会出现一个暗灰色边框。
  

3.5.2 低通高斯滤波器核

• 高斯核是唯一的可分离的圆对称核，高斯核的生成是通过以下公式得到的：$(x,y)$是点的坐标，$x^2+y^2$表示点到中心的距离的平方。要产生高斯核，首先确定$\sigma$的大小，然后规定核的大小，每个点的系数就根据坐标值来计算，最后将核的系数除以各个系数之和。
  
• 高斯核的系数，在到均值的距离大于$3\sigma$的位置，高斯函数的值就可以小到可以忽略，这意味我们选取高斯核的大小的时候应该不能大于$6\sigma \times 6\sigma$。
• 两个高斯函数的乘积和卷积也是高斯函数，我们在给出两个一维高斯函数$f和g$的均值和标准差，其乘积和卷积得到的高斯函数的均值和标准差可以直接计算得出。
  
• 盒式滤波器产生线性平滑，使得边缘从黑色到白色的过渡呈斜坡状，而高斯滤波器会在边缘过渡时产生更平滑的结果。
• 对图像填充零会在滤波中产生黑色的边框，避免的方法是采用对称填充（镜像边界的值）和复制填充（复制最接近的边界值）
• 给定大小的高斯核，产生的相对模糊量取决于图像的大小。
• 使用低通滤波可以校正阴影，用滤波器模糊原图像可以近似产生阴影模式，用阴影图像除以原图像可以校正阴影图像。

3.5.3 统计排序（非线性）滤波器

• 最知名的为中值滤波器，用中心像素邻域内的灰度值的中值来代替中心像素的值。中值滤波器模糊程度小，主要针对椒盐噪声，它使得各个点更像他们的邻点，迫使孤立的像素族的值变成中值。

3.6 锐化（高通）滤波器

锐化的作用是突出灰度中的过渡，增强边缘和其他不连续的细节，又称为高通滤波。模糊图像中的平滑（平均）运算类似于积分运算，因此锐化图像能通过空间微分来实现，主要是各种微分算子。

3.6.1 基础

• 一阶导数与二阶导数的定义：
  
• 图像中的边缘类似于斜坡过渡，此时一阶导数在斜坡上的导数为非0，会产生较宽的边缘,；二阶导数会产生宽度为1像素并由零分隔开的双边缘，因此二阶导数可以增强更精细的细节。
  

3.6.2 使用二阶导数锐化图像-拉普拉斯

• 拉普拉斯算子定义为：
  
  
  使用滤波器核来表示上述公式为：
  
• 拉普拉斯图像会突出图像中的急剧灰度过渡，如果拉普拉斯算子是负中心系数的，那么从原图像中减去拉普拉斯图像（c=-1），就可以得到锐化后的结果。如果是正中心系数，c=1。
  

3.6.3 钝化掩蔽和高提升滤波

• 步骤：

1. 模糊原图像，得到$\bar{f}(x,y)$
2. 从原图像减去模糊后的图像，得到模板:$g_{mask}(x,y)=f(x,y)-\bar{f}(x,y)$
3. 将模板与原图像相加:$g(x,y)=f(x,y)+k{g}_{mask}(x,y)$。其中，k=1时称为钝化掩蔽，k<!时称为高提升滤波。
   

3.6.4 使用一阶导数锐化图像-梯度

• 图像$f$在$(x,y)$的梯度定义为二维列向量，向量指向f的最大变化率方向
  
  幅度是梯度向量方向的变化率，这里$M(x,y)$是原图一样大小的图像，为梯度图像，一般用绝对值近似
  
  
• Robert算子和Sobel算子
  
  

3.7 低通、高通、带阻和带通滤波器

• 由低通滤波器可以构建高通、带阻和带通滤波器。从频率域上来看，高通滤波器是由1减去一个低通函数得到的，而频率域上的常数是空间域中的一个冲激。因此，在空间域中，从单位冲激减去一个低通滤波器核，就构建了一个高通滤波器。
• 带阻滤波器可由不同截止频率的一个低通函数和一个高通函数之和构建，带通滤波器可由单位冲激减去带阻滤波器核构建。
  
• 下图是通过一维函数来构建二维滤波器，有两个方法：1.根据$w=v{v}^T$使用这个一维函数构建一个可分离的二维低通滤波器核；2.旋转一维函数生成一个各向同性的二维滤波器核。