数学圈爆火的两本数学教材新书，豆瓣开分9.6，上市即加印，被读者评为“必读神作”...

今年年初上市的旧金山大学数学系教授，理学院副院长，《复分析：可视化方法》的作者《可视化微分几何和形式：一部五幕数学正剧》，甫一上市，就引起了广泛的关注，首印不到半月就全部售罄，更是连续加印，豆瓣开分9.6的高分！口碑和销量俱佳的经典之作。读者更是由衷感叹“真希望当我还是学生的时候就有尼达姆的这本书。”

而6月份出版的《概率论沉思录》也同样是上市加印，开分9.0，未来还需要一段时间的稳定。但是这本书此前图灵出过英文版，经典之作。读者更是期待了多年，终于上市。

《概率论沉思录》

《概率论沉思录》（Probability Theory: The Logic of Science）是美国物理学家杰恩斯（E. T. Jaynes，1922-1998）关于概率论在科学研究中应用的经典著作。杰恩斯是最早意识到概率论可视为传统亚里士多德逻辑的扩展的人之一，他将拉普拉斯、贝叶斯、哈罗德·杰弗里斯、考克斯和香浓等人的思想与成果综合为一个现代概率推理框架，将概率和统计推断作为整个科学的逻辑基础，对现代数学和科学产生了深远影响。《概率论沉思录》既是一本数学书，也是一本科学哲学与逻辑学书，甚至一本生活智慧书。书中提供大量生活实例和常识的解读，也讲述了概率统计的历史脉络，在物理学、数学、经济学、生物学等领域中的广泛应用。

撰文 | 埃德温·汤普森·杰恩斯

翻译 | 廖海仁

历史

本书是我的思想多年演化的产物。我对概率论的兴趣最初来自阅读哈罗德·杰弗里斯的著作（Harold Jefreys，1939）我意识到他的观点能让我们以一种与众不同的视角看待理论物理学的所有问题。随后，考克斯（R. T. Cox，1946）、香农（Shannon，1948）和波利亚（Pólya，1954）的著作陆续为我开启了新思想的一扇扇大门。我对这些探索的兴趣持续了大约 40 年之久。在这个更加广阔、永恒的理性思维世界中，理论物理学的当前问题似乎只是短期内的细枝末节。

本书的写作其实源于1956年在斯坦福大学举办的一系列讲座的笔记，这些讲座的目的是讲解波利亚关于“数学与合情推理”的令人振奋的新著作^[2]。他将我们直观的“常识”分解为一组基本的定性条件，并且表明：数学家一直在使用它们来引导发现的过程，而且这种引导必然发生在找到严格证明之前，这些结果很像詹姆斯·伯努利的《猜度术》（James Bernoulli，1713）中古典概率论的内容在它的基础上，拉普拉斯在18世纪晚期发展出了分析概率论文^[3]。但是波利亚认为这种相似性只是定性的。

波利亚对这种定性一致性做出了完整而详尽的展示，说明合情推理与概率论之间一定存在更多联系。幸运的是，应用考克斯的一致性定理足以证明这一点。将波利亚的定性条件与考克斯的一致性定理结合起来就能证明：如果合情程度由实数表示，那么只能确定唯一一套用于推断的定量规则。也就是说，与其矛盾的任何其他规则都必然会违反一条基本的合理性条件或者一致性原则。

但是，最终结果只是丹尼尔·伯努利和拉普拉斯已经得出的概率论的标准规则。那又有什么值得大惊小怪的呢？这里重要的新特征是：这些规则现在被视为唯一有效的一般性逻辑原则，不涉及“偶然性”或“随机变量”。因此，它们的应用范围远远大于20 世纪早期发展起来的传统概率论。结果就是，“概率论”与“统计推断”之间的假想区别消失了，该领域不仅实现了逻辑上的统一性和简单性，而且在应用中有更强的效力与灵活性。

因此，这些讲座把重点放在推演波利亚观点的定量规则上，以便将该规则用于科学推断的一般性问题。几乎所有的推断问题都产生于不完全的信息，而非“随机性”。第5章将介绍波利亚的生平及这项工作是如何开始的。一旦涉及应用，哈罗德·杰弗里斯的著作就又成为我关注的焦点，他凭着直觉获得了许多洞见，并且几乎预见了我后来遇到的每一个问题。本书的献词只是我对他的感激之情的部分体现，对他著作的更多评论及其对我的影响分散在多个章节中。

1957~1970年，这些讲座不断在其他许多大学和研究实验室举办，内容不断增加。^[4]在这一过程中，人们逐渐明白，传统的“统计推断”的突出困难很容易被理解和克服。但是，取而代之的规则在概念上非常微妙，需要深入思考才能明白如何正确运用，人们过去认为运用拉普拉斯的概率论方法会导致某些不可克服的困难，从而拒绝这些方法，他们最终明白这些困难只是由误用概率论方法造成的，通常是因为没有明确地定义问题或者没有意识到看似微不足道的信息存在重要的影响。一旦意识到这一点，原先的困难就很容易被克服。我们的“扩展逻辑”方法与通常的“随机变量”方法之间的各种关系以不同的形式出现在几乎每一章中。

最终，我积累的材料多到无法被囊括在一系列简短的讲座中，本书的用途也演化到了教学之外，在克服原有困难之后，我们发现已经有了处理新问题的强大工具。大约自 1970年以来，材料一直在以同样的速度增加，但是主要来自我及同事的研究活动，我们希望本书的最终版本能体现材料来源的多样性，既可用作教科书，也可用作参考书。事实上，我的好几批学生已经把早期几个版本的笔记传授给了他们的学生。

综上所述，我们在这里引用查尔斯:达尔文在《物种起源》绪论中所写的话：“我希望读者原谅我赘述这些个人的细枝末节，我只是想借此说明，我未曾仓促立论而已。”^[5]人们可能会认为 30 年前的著作在今天已经过时了.幸运的是，杰弗里斯、波利亚和考克斯的著作是基础性且永恒的，其中的真理并不随着时间而改变，其重要性反而会随着时间的推移而上升,他们对于推断本质的洞察在 30 年前只是令人好奇，而今在几个科学领域中愈显重要，并会在未来100年的所有领域中都至关重要。

《概率论沉思录》

作者：埃德温·汤普森·杰恩斯

译者：廖海仁

著名数学物理学家，圣路易斯华盛顿大学和斯坦福大学教授，统计力学和概率统计推断方面权谋埃德温·汤普森·杰恩斯，40年思想著作；

无数读者苦等15年的概率论神作，英文版豆瓣评分9.4高分；

概率论作为逻辑的延伸，是所有科学推断的基础。本书收集了概率统计的各种线索，将概率和统计推断融合在一起，用新的观点生动地描述了概率论在物理学、数学、经济学、化学和生物学等领域中的广泛应用，尤其是阐述了贝叶斯理论的丰富应用，弥补了传统概率论和统计学的不足，并揭开了众多悖论背后的玄机。

“几何”味的“微分几何”

本书并不是一定要当作一部正在上演的五幕正剧才能完全读懂．尽管如此，我还是认为书中的故事情节很重要，这种非常规的结构和书名也都很合适，理由如下．首先，我力求用演出戏剧的方式来展现微分几何的思想，就如我看待它们的方式一样，不仅要看到它们的历史发展，而且（更重要的是）要看到它们的层级关系，各种想法相互关联的影响，以及它们在数学其他领域和物理学中令人想象不到的含义．

其次，这部所谓的五幕剧中每一幕的剧情都（或多或少）符合莎士比亚戏剧的经典结构（剧情的这种结构并非都是有意设计的，更多的是内容自然演进而形成的），特别是预期中的剧情“高潮”确实就出现在第三幕：曲率．事实上，在开始写作本书几年后的一天，我突然清楚地意识到：我撰写的东西就是一部五幕数学剧．就在这一天，我“更正”了本书的书名，并将之前的五“部分”改为五“幕”．

• 第一幕：空间的本质

• 第二幕：度量

• 第三幕：曲率

• 第四幕：平行移动

• 第五幕：形式

前四幕实现了我的承诺，相互独立、有“几何”味地介绍了微分几何．第四幕是真正的“数学动力站”，它使得我们最终可以用几何方法证明前三幕中的许多论断．

这几幕主题的几个方面是非正统的，处理它们的几何方法也是非正统的．在此，我们只说三个最重要的例子．

第一，第三幕是整部剧的高潮，而这一幕的高潮是全局高斯 – 博内定理——这是连接局部几何与全局拓扑的著名定理．这个话题的内容是标准的，但我们的处理方法就不是标准的了．为了突出这个定理的中心地位和根本重要性，我们燃放了一组豪华的“数学烟花”：用五章的篇幅来讨论它，还贡献了四个不同寻常的证明，每个证明都体现了对证明结果和微分几何根本性质的新见解．

第二，从二维曲面到 n 维空间（称为“流形”）的转换（通常在研究生阶段学习）常常是令学生困惑和害怕的内容．第 29 章（在本书中篇幅第二长）通过集中研究三维流形的曲率（这是能够可视化的），寻求建立一座跨越这个鸿沟的桥梁．

当然，我们讨论的框架是可以应用到任意维流形的．我们利用这种方法引入了著名的黎曼张量，用它来度量 n 维流形的曲率．我们直观、有几何味地介绍了黎曼张量，在技术上是完整的．

第三，我们觉得，黎曼张量在自然科学的竞技场上单枪匹马就能取得光辉、伟大的胜利，在充分讨论了黎曼张量之后，继续隐藏这一点就不好了．所以，在第四幕的最后，我们用很长的篇幅有几何味地介绍了爱因斯坦伟大的广义相对论：物质和能量的引力作用于四维时空，引起时空弯曲．这一章在本书中篇幅第三长，不仅（完全用几何的语言）讨论了（爱因斯坦在 1915 年发现的）著名的引力场方程，而且介绍了它在黑洞、引力波和宇宙学最新研究中的意义．

现在，我们来到第五幕，这是与前四幕具有不同特点的一幕．我们在此力求完成本书的第二个目标，它与第一个目标截然不同，但同样意义非凡．

即使最疯狂的几何迷也不得不承认，（开篇引语中描述的）阿蒂亚的残忍机器是个绕不开的恶魔，但是，如果我们必须做计算，至少也要做得非常优雅．幸运的是，从 1900 年开始，埃利·嘉当就建立了一种简洁有效的新计算方法．它首先用于研究李群，而后为微分几何提供了一种新的研究途径．

嘉当的发现称为“外微分”，它的研究对象及其微分式和积分式统称为“微分形式”（本书中简称为“形式”）．我们将在第五幕的最后，用本书篇幅最长的一章，跟随嘉当的指引，最终展示这种方法的优美和有效性——用符号运算的方法重新证明在前四幕中已经用几何方法证明了的结论．不仅如此，微分形式还将帮助我们完成一些在前四幕里做不到的事情：特别是，它们给出了一种通过曲率 2 次微分形式（简称为 2-形式）来计算黎曼张量的方法，既有效又优美．

然而，我们首先要充分发挥嘉当思想自身的实力，在完全不依赖前四幕内容的前提下，引入完整的微分形式理论．为避免造成任何困惑，我们再说一次：第五幕中的前六章与微分几何没有丝毫关系！我们这样做的原因是，微分形式在数学、物理学和其他一些学科的不同领域内都有成果丰富的应用．我们的目的是使微分形式能被尽可能广泛的读者所接受，即使他们的主要兴趣不是微分几何．

为达到此目的，我们努力寻求一种比常用方法更直观、更形象的办法来讨论微分形式．尽管如此，也请不要有任何幻想：第五幕的主要目的就是建造一台“魔鬼机器”（只需要本科水平就可以完成），一种非常有力的计算方法．这些微分形式的威力使我们回忆起复数：可谓一石激起千层浪，嘉当的微分形式能解释的东西比它的发现者要求的还要多得多．这真是个理想的形式，堪称妙手偶得！

只需举一个例子就够了：微分形式可以统一阐明向量微积分中的所有公式．可以说，这就是本科生的一本启示录，只要允许他们去读就行了．事实上，格林公式、高斯公式和斯托克斯公式仅仅是微分形式的一个定理在不同情况下的表现方式，而这个定理比这些特殊情况下的表现方式更简单．尽管从数学到物理学，微分形式都具有不可置疑的重要性，但是绝大多数本科生在离开学校之前未学到过微分形式，我早就认为这是个问题．只有屈指可数的几本本科生的（向量微积分或微分几何）教科书曾经提到过微分形式，并且告诉学生这个内容归属于研究生课程．

如此可悲的状况已经持续了一个多世纪，我仍未看到即将发生重大改变的任何迹象．作为回应，第五幕要做的不是咒骂黑暗，而是点燃一支蜡烛，奋力去说服读者相信嘉当的微分形式（及其基础“张量”）既简单又优美，说服读者相信它们（还有嘉当的名字）值得成为本科生课程的一个标准组成部分．这就是第五幕的宏伟目标．在前四幕让读者沉浸于纯粹的几何之后，最后一幕就是代数计算的表演，称得上是一个畅快淋漓的大结局．

  推荐阅读

《可视化微分几何和形式：一部五幕数学正剧》 

作者：[美]特里斯坦·尼达姆（Tristan Needham）

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1.旧金山大学数学系教授，理学院副院长，牛津大学博士，与霍金齐名的诺奖得主罗杰·彭罗斯弟子特里斯坦·尼达姆经典巨作！

2.200多幅手绘示意图，将“微分几何”回归为“几何”，运用牛顿的几何方法对经典结果做出了几何解释。

3.原著豆瓣高达9.9分！被认为是“小说一般流畅的数学教材！”

4.译者为国内著名偏微分方程专家，武汉大学原校长齐民友老师弟子、武汉大学数学教授刘伟安老师。

《复分析：可视化方法》

作者：[美]特里斯坦·尼达姆

译者：齐民友

本书用一种真正不同寻常的、独具创造性的视角和可以看得见的论证方式解释初等复分析的理论，公开挑战当前占统治地位的纯符号逻辑推理。

本书是在复分析领域产生了广泛影响的一本著作。作者独辟蹊径，用丰富的图例展示各种概念、定理和证明思路，十分便于读者理解，充分揭示了复分析的数学美。