窗函数的理解_切比雪夫窗

什么是窗函数? - 知乎
上面的链接主要内容：

1. 为什么要加窗函数；
2. 窗函数的定义；
3. 窗函数的时频域特征；
4. 加窗函数的原则；
5. 模态测试所用窗函数；
6. 窗函数带来的影响。

内容比较全，推荐阅读。

窗函数的作用

数字信号分析经常需要进行傅里叶变换。

当输入一个信号x(t)，我们需要截取它其中的一段来进行研究，就可以用加窗来实现，这里窗长就是截取长度。但因为之后我们会研究截取信号的频谱，需要对其进行傅里叶变换，而傅里叶变换又是作用于正负无穷的，所以要先对截取信号进行周期扩展。此时，若截取为整周期截取，周期扩展之后还是原信号，因此不会出现频谱泄露；若为非整周期截取，或信号根本就不是周期信号，截取信号不能表示整个信号，周期扩展之后信号的频谱会在每个周期相连的地方出现高次谐波，（高次谐波的产生可以大致地理解为周期扩展之后，时域上不再像原来一样连续，两个周期之间出现间断点，这个现象又叫Gibbs现象）这就是频谱泄露。

这里可以延伸出一个如何选择窗函数来减小频谱泄露的问题。即要求窗函数频谱的主瓣尽量窄、旁瓣衰减尽量大。但二者不可兼得，因此要根据实际需求选择窗函数。主瓣越窄的窗函数的频率识别精度越高；旁瓣衰减越大的窗函数的幅度识别精度越高。
————————————————
https://blog.csdn.net/qq_34637672/article/details/83032792

每次FFT变换只能对有限长度的时域数据进行变换，因此，需要对时域信号进行信号截断。即使是周期信号，如果截断的时间长度不是周期的整数倍（周期截断），那么，截取后的信号将会存在泄漏。为了将这个泄漏误差减少到最小程度（注意说是的减少，而不是消除），我们需要使用加权函数，也叫窗函数。加窗主要是为了使时域信号似乎更好地满足FFT处理的周期性要求，减少泄漏。
————————————————
https://blog.csdn.net/liubing8609/article/details/85530674

窗函数的实质

时域上，与输入信号相乘；频域上，与输入信号做卷积傅里叶变换。

常见窗函数

矩形窗（Rectangular window）
汉宁窗（Hanning window）
汉明窗（Hamming window）
布莱克曼窗（Blackman window）
三角窗
高斯窗
指数窗
平顶窗
凯泽-贝塞尔窗
切比雪夫窗(chebyshev window)
————————————————
FFT中常用窗函数_智小星的博客-CSDN博客_fft窗函数

窗函数的评价指标

窗函数的重要参数：

• leakage factor 泄露指数
• Relative sidelobe attenuation 旁瓣衰减
• Mainlobe width(-3dB) 主瓣宽度
• sidelobe roll-off rate 旁瓣衰减率

一文读懂FFT，海宁窗（hann）和汉明窗（hamming）的区别，如何选择窗函数_Li Kang 笔记本-CSDN博客_汉明窗和汉宁窗的区别

加窗的主要想法是用比较光滑的窗函数代替截取信号样本的矩形窗函数，也就是对截断后的时域信号进行特定的不等计权，使被截断后的时域波形两端突变变得平滑些，以此压低谱窗的旁瓣。因为旁瓣泄露量最大，旁瓣小了泄露也相应减少了。不同的窗函数具有不同的频谱特征。下表列出了一些常用窗函数的特征。

主瓣宽度主要影响信号能量分布和频率分辨能力。频率的实际分辨能力为有效噪声带宽乘以频率分辨率，因此，主瓣越宽，有效噪声带宽越宽，在频率分辨率相同的情况下，频率的分辨能力越差。如下图所示，红色为平顶窗（3.77∆f），黑色为汉宁窗（1.5∆f），蓝色为信号频率，可以明显地看出，主瓣越窄，频率分辨越准确。对于窗函数宽的主瓣而言，如果有邻近的小峰值频率，则越难辨别出来。

旁瓣高低及其衰减率影响能量泄漏程度（频谱拖尾效应）。旁瓣越高，说明能量泄漏越严重，衰减越慢，频谱拖尾越严重。对50.5Hz（频率分辨率为1Hz）的信号分别施加矩形窗（红色）、汉宁窗（绿色）和平顶窗（蓝色），用对数显示幅值，加窗后的结果如下图所示。从图中可以看出，矩形窗的频谱拖尾更严重。

如何选择窗函数

• 如果分析对象是单一频率信号，幅度分辨率比频域分辨率更高，则需要宽的主瓣。
• 如果分析对象是单一频率信号，频域分辨率要求比幅度分辨率更高，则需要更窄的主瓣。

选择原则：

1. 如果截断的信号仍为周期信号，则不存在泄漏，无须加窗，相当于加矩形窗。

2. 如果信号是随机信号或者未知信号，或者有多个频率分量，测试关注的是频率点而非能量大小，建议选择汉宁窗，像LMS Test.Lab中默认加的就是汉宁窗。

3. 对于校准目的，则要求幅值精确，平顶窗是个不错的选择。

4. 如果同时要求幅值精度和频率精度，可选择凯塞窗。

5. 如果检测两个频率相近、幅值不同的信号，建议用布莱克曼窗。

6. 锤击法试验力信号加力窗，响应可加指数窗。

切比雪夫窗chebyshev window

缺点：利用切比雪夫逼近理论设计FIR数字滤波器时，满足最佳一致逼近的滤波器又具有等纹波性质。存在通带纹波以及阻带纹波。
优点：在阻带衰减更陡峭。