理论总结-三次样条插值

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主要参考文献：三次样条(cubic spline)插值

0 前言

在早期工程师制图时，把富有弹性的细长木条，即样条用压铁固定在样点上，在其他地方让它自由弯曲，然后沿木条画下曲线，作为样条曲线。

分段三次样条插值：分段就是把区间[a,b]分成n个区间：

共有n+1个点，其中两个端点为：

三次样条就是说每个小区间的曲线是一个三次方程，其中三次样条方程满足以下条件：

1、在每个分段小区间[x_i,x_i+1]上，S(x)=S_i(x)都是一个三次方程，其中i=0,1…,n-1；

2、满足插值条件，即：

3、曲线光滑，S(x)及其一阶导数、二阶导数均连续。

三次方程可构造成如下形式：

称这个方程为三次样条函数S_i(x)。其中，每个小区间上的S_i(x)有4个未知数：

而有n个小区间，则有4n个未知数，要解出这些未知数，则需要4n个方程来求解。下面的【1 求解】一节是求解思路。

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1 思路

现在的目标是：【通过找出4n个方程去求解4n个未知数】

由于所有点必须满足插值条件，即：

除了两个端点，所有n-1个内部点的每个点都满足：

前后两个分段三次方程，则有2(n-1)个方程，再加上两个端点分别满足第一个和最后一个三次方程，则总共有2n个方程。

而n-1个内部点的一阶导数应该是连续的，即在第i区间的末点和第i+1区间的起点是同一个点，它们的一阶导数应该也相等，即：

则又有n-1个方程。另外，内部点的二阶导数也要连续，即：

也有n-1个方程。

现在总共有4n-2个方程了，还差两个方程就可以解出所有未知数。

剩余的两个方程将通过边界条件得到。有三种边界条件：

1、自然边界(Natural Spline)：指定端点二阶导数为0：

2、固定边界(Clamped Spline)：指定端点一阶导数，这里分别定为A和B。即：

3、非扭结边界(Not-A-Knot Spline)：强制第一个插值点的三阶导数值等于第二个点的三阶导数值，最后第一个点的三阶导数值等于倒数第二个点的三阶导数值。即：

下面的【2 推导】一节是具体推导过程。

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2 推导

S_i(x)及其一阶导数、二阶导数分别为：

1、由：

可得：

2、步长设为：

由S_i(x_i+1)=y_i+1可得：

3、由S’_i(x_i+1)=S’_i+1(x_i+1)可得：

有：

4、由S"_i(x_i+1)=S"_i+1(x_i+1)可得：

设：

可得：

5、由上面1-4的a_i、c_i、d_i的公式，即：

代入到：

可得：

6、于是将a_i、b_i、c_i、d_i的公式代入到：

可得：

下面通过三种不同的边界条件分别构造三个以m为未知数的线性方程组。

2.1 自然边界

在自然边界条件时，端点二阶导数为0，即：

而：

则有m₀=0，m_n=0，用矩阵形式方程表示为：

上图中，等式左面的系数矩阵为严格对角占优矩阵：每一行中对角元素的值的模>其余元素值的模之和。故线性方程组有唯一解。

2.2 固定边界

在固定边界条件时，有：

而：

则有：

1、如下：

化简得以下公式(记为公式1)：

2、如下：

化简得以下公式(记为公式2)：

将上述公式1与公式2代入，得到新的方程组形式与【2.1 自然边界】的矩阵方程类似，只不过左侧的系数矩阵需要修改为：

同时右侧矩阵第一行与最后一行的两个0分别改为：

与

2.3 非扭结边界

在非扭结边界条件时，有：

由于：

则有：

化简得以下公式(记为公式3)：

将上述公式3代入，得到新的方程组形式与【2.1 自然边界】的矩阵方程类似，只不过左侧的系数矩阵需要修改为：

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3 总结

首先假定有n+1个数据节点：

1、计算步长：

2、将数据节点和指定的首位端点条件代入矩阵方程。

3、解矩阵方程，求得二次微分值m_i。该矩阵为三对角矩阵，常见解法为高斯消元法，可以对系数矩阵进行LU分解，分解为单位下三角矩阵和上三角矩阵，即：

4、计算样条曲线的系数：

5、在每个子区间：

中，创建方程：

结束

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END