克鲁斯卡尔算法(Kruskal算法)求最小生成树_适用于求边稀疏的网的最小代价生成树

克鲁斯卡尔算法(Kruskal算法)求最小生成树

克鲁斯卡尔算法，从边的角度求网的最小生成树，时间复杂度为O(eloge)。和普里姆算法恰恰相反，更适合于求边稀疏的网的最小生成树。

对于任意一个连通网的最小生成树来说，在要求总的权值最小的情况下，最直接的想法就是将连通网中的所有边按照权值大小进行升序排序，从小到大依次选择。

由于最小生成树本身是一棵生成树，所以需要时刻满足以下两点：

1.生成树中任意顶点之间有且仅有一条通路，也就是说，生成树中不能存在回路；
2.对于具有 n 个顶点的连通网，其生成树中只能有 n-1 条边，这 n-1 条边连通着 n 个顶点。
3.连接 n 个顶点在不产生回路的情况下，只需要 n-1 条边。

所以克鲁斯卡尔算法的具体思路是：将所有边按照权值的大小进行升序排序，然后从小到大一一判断，条件为：如果这个边不会与之前选择的所有边组成回路，就可以作为最小生成树的一部分；反之，舍去。直到具有 n 个顶点的连通网筛选出来 n-1 条边为止。筛选出来的边和所有的顶点构成此连通网的最小生成树。

判断是否会产生回路的方法为：(方法一)

在初始状态下给每个顶点赋予不同的标记，对于遍历过程的每条边，其都有两个顶点，判断这两个顶点的标记是否一致，如果一致，说明它们本身就处在一棵树中，如果继续连接就会产生回路；如果不一致，说明它们之间还没有任何关系，可以连接。

假设遍历到一条由顶点 A 和 B 构成的边，而顶点 A 和顶点 B 标记不同，此时不仅需要将顶点 A 的标记更新为顶点 B 的标记，还需要更改所有和顶点 A 标记相同的顶点的标记，全部改为顶点 B 的标记。

例如，使用克鲁斯卡尔算法找图 1 的最小生成树的过程为：

首先，在初始状态下，对各顶点赋予不同的标记（用颜色区别），如下图所示：

对所有边按照权值的大小进行排序，按照从小到大的顺序进行判断，首先是（1，3），由于顶点 1 和顶点 3 标记不同，所以可以构成生成树的一部分，遍历所有顶点，将与顶点 3 标记相同的全部更改为顶点 1 的标记，如（2）所示：

其次是（4，6）边，两顶点标记不同，所以可以构成生成树的一部分，更新所有顶点的标记为：

其次是（2，5）边，两顶点标记不同，可以构成生成树的一部分，更新所有顶点的标记为：

然后最小的是（3，6）边，两者标记不同，可以连接，遍历所有顶点，将与顶点 6 标记相同的所有顶点的标记更改为顶点 1 的标记：

继续选择权值最小的边，此时会发现，权值为 5 的边有 3 个，其中（1，4）和（3，4）各自两顶点的标记一样，如果连接会产生回路，所以舍去，而（2，3）标记不一样，可以选择，将所有与顶点 2 标记相同的顶点的标记全部改为同顶点 3 相同的标记：

当选取的边的数量相比与顶点的数量小 1 时，说明最小生成树已经生成。所以最终采用克鲁斯卡尔算法得到的最小生成树为（6）所示。

方法二（并查集）

将图中边按照权值从小到大排列，然后从最小的边开始扫描，设置一个边的集合来记录，如果该边并入不构成回路的话，则将该边并入当前生成树。直到所有的边都检测完为止。



并查集详细资料

实现代码

方法一：

//用于思路二
//辅助数组
typedef struct
{
	int value; // 顶点数据(下标)
	int sign;  //顶点所属集合
}Assist[MAX_VERTEX];

Assist  assists;

//在assist数组中找到顶点point对应的位置的下标
int Locatevex(int vexnum, int point)
{
	for (int i = 1; i <= vexnum; i++)
	{
		if (assists[i].value == point)
		{
			return i;
		}
	}
	return -1;
}

void Kruscal2(Matrix_Graph* G)
{
	int initail, end , i , path = 0;
	Edge_Node Edge[100];
	
	//对边集矩阵进行排序---采用冒泡排序方法
	fastSort(Edge, G);
	for (i = 1; i <= G->edge_number; i++)
	{
		initail = Locatevex(G->vertex_number, Edge[i].begin);
		end = Locatevex(G->vertex_number, Edge[i].end);//通过find找寻“待选”边两个顶点的“源顶点”
		if (assists[end].sign != assists[initail].sign && initail != -1 && end != -1)
		{
			printf("路径 %d : [%c %c] , 权值为 %d\n", path+1, G->vertex[Edge[i].begin], G->vertex[Edge[i].end], Edge[i].weight);
			path++;

			//将新生成的树标记为一样
			for (int k = 1; k <= G->vertex_number; k++)
			{
				if (assists[k].sign == assists[end].sign)
				{
					assists[k].sign = assists[initail].sign;
				}
			}

		}
		if (path == G->vertex_number - 1)
		{
			break;
		}
	}

}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57

方法二：

/***find函数***/
//功能：找寻每一个输入顶点的“源顶点”，并返回此源顶点
//用于思路一：
int find(int* parent, int f)//parent[i]数组记录顶点i的father为parent[i],层层追寻father，就可以找到顶点i的“源顶点”
{
	while (parent[f] > 0)
		f = parent[f];
	return f;
}

//克鲁斯卡尔主功能代码思路一：
void Kruscal(Matrix_Graph* G)
{
	int i, m, n, path;
	Edge_Node Edge[100];
	int parent[100];

    path = 0;
	
	//对边集矩阵进行排序---采用冒泡排序方法
	fastSort(Edge, G);

	//打印边集矩阵
	PrintEdge_Node(G, Edge);
	printf("\nKruscal\n");
	//parent[]数组初始化：将所有顶点的父亲顶点置0
	for (i = 1; i <= G->vertex_number; i++)
	{
		parent[i] = 0;
	}
		
	for (i = 1; i <= G->edge_number; i++)
	{
		n = find(parent, Edge[i].begin);
		m = find(parent, Edge[i].end);//通过find找寻“待选”边两个顶点的“源顶点”
		if (n != m)
		{
			parent[m] = n;//更新m顶点的“源顶点”是n
			printf("路径 %d : [%c %c] , 权值为 %d\n", path+1, G->vertex[Edge[i].begin], G->vertex[Edge[i].end], Edge[i].weight);
			path++;

		}
		if (path == G->vertex_number - 1)
		{
			break;
		}
	}
	
}

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50

方法三

------思想类似于方法一

邻接矩阵生成

#define MAX_VERTEX 100
#define inf 65535  //用65535代表无穷大

#define VertexType char
/*************************建立无向图邻接矩阵**************************/
typedef struct Matrix_Graph
{
	VertexType vertex[MAX_VERTEX];//存储顶点信息
	int edge[MAX_VERTEX][MAX_VERTEX];//存储边信息
	int vertex_number, edge_number;//存储图中的顶点数和边数
}Matrix_Graph;


//索引判断
int index(char vex, Matrix_Graph* mg)
{
	int i;
	for (i = 1;i <= mg->vertex_number;i++)
	{
		if (mg->vertex[i] == vex)
			return i;
	}
	return 0;

}
void create_non_direction_matrix_Graph(Matrix_Graph* G)
{
	int i, j, w, k;
	VertexType h, t;
	char ch;
	printf("请输入顶点数和边数：\n");
	scanf_s("%d %d", &G->vertex_number, &G->edge_number);
	ch = getchar();
	printf("请输入无向图顶点信息(如ABCD...)：\n");
	
	for (i = 1; i <= G->vertex_number; i++)
	{
		scanf_s("%c", &G->vertex[i], 1);

		//为每一个顶点做标记不同的标记，说明属于不同的集合
		assists[i].value = i;
		assists[i].sign = i;  //用于方法2 ，思路一可不需要
	}
		
	ch = getchar();
	//初始化边信息
	for (i = 1; i <= G->vertex_number; i++)
		for (j = 1; j <= G->vertex_number; j++)
		{
			if (i == j)
				G->edge[i][j] = 0;
			else
				G->edge[i][j] = inf;
		}

	for (k = 1; k <= G->edge_number; k++)
	{
		printf("第%d条边的两个顶点(Vi,Vj)和权值" , k);
		scanf_s("%c %c %d", &h,1 ,&t,1, &w);
		ch = getchar();
		i = index(h, G);
		j = index(t, G);
		G->edge[i][j] = w;
		G->edge[j][i] = G->edge[i][j];//由于是无向图，故是对称阵
	}
	//打印邻接矩阵
	printf("*************************构造的邻接矩阵如下**************************\n");
	for (i = 1; i <= G->vertex_number; i++)
	{
		for (j = 1; j <= G->vertex_number; j++)
			if (G->edge[i][j] == inf)
			{
				printf("∞\t");
			}
			else
			{
				printf("%d\t", G->edge[i][j]);
			}
			
		printf("\n");
	}
}

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83

将邻接矩阵转化成边集矩阵

typedef struct Edge_Node
{
	int begin;
	int end;
	int weight;
}Edge_Node;

//-----将邻接矩阵转换成记录权值从小到大排序的边集矩阵
void fastSort(Edge_Node* array, Matrix_Graph* G)
{
	int i = 1, j = 0, k;
	Edge_Node temp;
	for (j = 1; j <G->vertex_number; j++)
	{
		array[j ].begin = 0;
		array[j].end = 0;
		array[j].weight =0;
	}
	//匹配相应的权值点
	
	for (j = 1; j <= G->vertex_number; j++)
	{
		for (k = j; k <= G->vertex_number; k++)
		{
			if (G->edge[j][k] != 0 && G->edge[j][k] != inf)
			{
				array[i].begin = j;
				array[i].end = k;
				array[i].weight = G->edge[j][k];
				i++;
			}
		}
	}
	printf("\n");
	//对权值进行排序  -----冒泡排序
	for (i = 1; i <= G->edge_number; i++)
	{
		for (j = 1; j <= G->edge_number - 1; j++)
		{
			if (array[j].weight > array[i].weight)
			{
				temp = array[i];
				array[i] = array[j];
				array[j] = temp;

			}
		}
	}
	

}

//----打印边集矩阵----
void PrintEdge_Node(Matrix_Graph* G, Edge_Node* array)
{
	//打印“新矩阵”
	printf("***************构造的边集矩阵如下****************\n");
	printf("Edge[ ] \tbegin\tend\tweight\n");
	for (int i = 1; i <= G->edge_number; i++)
		printf("Edge[%d]:\t %c \t %c \t %d \t\n", i, G->vertex[array[i].begin], G->vertex[array[i].end], array[i].weight);

}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62

完整代码

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#define MAX_VERTEX 100
#define inf 65535  //用65535代表无穷大

#define VertexType char
/*************************建立无向图邻接矩阵**************************/
typedef struct Matrix_Graph
{
	VertexType vertex[MAX_VERTEX];//存储顶点信息
	int edge[MAX_VERTEX][MAX_VERTEX];//存储边信息
	int vertex_number, edge_number;//存储图中的顶点数和边数
}Matrix_Graph;



//用于思路二
//辅助数组
typedef struct
{
	int value; // 顶点数据(下标)
	int sign;  //顶点所属集合
}Assist[MAX_VERTEX];

Assist  assists;



//索引判断
int index(char vex, Matrix_Graph* mg)
{
	int i;
	for (i = 1;i <= mg->vertex_number;i++)
	{
		if (mg->vertex[i] == vex)
			return i;
	}
	return 0;

}
void create_non_direction_matrix_Graph(Matrix_Graph* G)
{
	int i, j, w, k;
	VertexType h, t;
	char ch;
	printf("请输入顶点数和边数：\n");
	scanf_s("%d %d", &G->vertex_number, &G->edge_number);
	ch = getchar();
	printf("请输入无向图顶点信息(如ABCD...)：\n");
	
	for (i = 1; i <= G->vertex_number; i++)
	{
		scanf_s("%c", &G->vertex[i], 1);

		//为每一个顶点做标记不同的标记，说明属于不同的集合
		assists[i].value = i;
		assists[i].sign = i;  //用于方法2 ，思路一可不需要
	}
		
	ch = getchar();
	//初始化边信息
	for (i = 1; i <= G->vertex_number; i++)
		for (j = 1; j <= G->vertex_number; j++)
		{
			if (i == j)
				G->edge[i][j] = 0;
			else
				G->edge[i][j] = inf;
		}

	for (k = 1; k <= G->edge_number; k++)
	{
		printf("第%d条边的两个顶点(Vi,Vj)和权值" , k);
		scanf_s("%c %c %d", &h,1 ,&t,1, &w);
		ch = getchar();
		i = index(h, G);
		j = index(t, G);
		G->edge[i][j] = w;
		G->edge[j][i] = G->edge[i][j];//由于是无向图，故是对称阵
	}
	//打印邻接矩阵
	printf("*************************构造的邻接矩阵如下**************************\n");
	for (i = 1; i <= G->vertex_number; i++)
	{
		for (j = 1; j <= G->vertex_number; j++)
			if (G->edge[i][j] == inf)
			{
				printf("∞\t");
			}
			else
			{
				printf("%d\t", G->edge[i][j]);
			}
			
		printf("\n");
	}
}

/*************************克鲁斯卡尔算法**************************/
//构造记录权值、边的起点、边的终点的边集矩阵结点
typedef struct Edge_Node
{
	int begin;
	int end;
	int weight;
}Edge_Node;





//-----将邻接矩阵转换成记录权值从小到大排序的边集矩阵
void fastSort(Edge_Node* array, Matrix_Graph* G)
{
	int i = 1, j = 0, k;
	Edge_Node temp;
	for (j = 1; j <G->vertex_number; j++)
	{
		array[j ].begin = 0;
		array[j].end = 0;
		array[j].weight =0;
	}
	//匹配相应的权值点
	
	for (j = 1; j <= G->vertex_number; j++)
	{
		for (k = j; k <= G->vertex_number; k++)
		{
			if (G->edge[j][k] != 0 && G->edge[j][k] != inf)
			{
				array[i].begin = j;
				array[i].end = k;
				array[i].weight = G->edge[j][k];
				i++;
			}
		}
	}
	printf("\n");
	//对权值进行排序  -----冒泡排序
	for (i = 1; i <= G->edge_number; i++)
	{
		for (j = 1; j <= G->edge_number - 1; j++)
		{
			if (array[j].weight > array[i].weight)
			{
				temp = array[i];
				array[i] = array[j];
				array[j] = temp;

			}
		}
	}
	

}

//----打印边集矩阵----
void PrintEdge_Node(Matrix_Graph* G, Edge_Node* array)
{
	//打印“新矩阵”
	printf("***************构造的边集矩阵如下****************\n");
	printf("Edge[ ] \tbegin\tend\tweight\n");
	for (int i = 1; i <= G->edge_number; i++)
		printf("Edge[%d]:\t %c \t %c \t %d \t\n", i, G->vertex[array[i].begin], G->vertex[array[i].end], array[i].weight);

}
/***find函数***/
//功能：找寻每一个输入顶点的“源顶点”，并返回此源顶点
//用于思路一：
int find(int* parent, int f)//parent[i]数组记录顶点i的father为parent[i],层层追寻father，就可以找到顶点i的“源顶点”
{
	while (parent[f] > 0)
		f = parent[f];
	return f;
}

//克鲁斯卡尔主功能代码思路一：
void Kruscal(Matrix_Graph* G)
{
	int i, m, n, path;
	Edge_Node Edge[100];
	int parent[100];

    path = 0;
	
	//对边集矩阵进行排序---采用冒泡排序方法
	fastSort(Edge, G);

	//打印边集矩阵
	PrintEdge_Node(G, Edge);
	printf("\nKruscal\n");
	//parent[]数组初始化：将所有顶点的父亲顶点置0
	for (i = 1; i <= G->vertex_number; i++)
	{
		parent[i] = 0;
	}
		
	for (i = 1; i <= G->edge_number; i++)
	{
		n = find(parent, Edge[i].begin);
		m = find(parent, Edge[i].end);//通过find找寻“待选”边两个顶点的“源顶点”
		if (n != m)
		{
			parent[m] = n;//更新m顶点的“源顶点”是n
			printf("路径 %d : [%c %c] , 权值为 %d\n", path+1, G->vertex[Edge[i].begin], G->vertex[Edge[i].end], Edge[i].weight);
			path++;

		}
		if (path == G->vertex_number - 1)
		{
			break;
		}
	}
	
}



//思路二  用数组标记顶点，用一个集合标记，在同一个集合中有相同的标记

//在assist数组中找到顶点point对应的位置的下标
int Locatevex(int vexnum, int point)
{
	for (int i = 1; i <= vexnum; i++)
	{
		if (assists[i].value == point)
		{
			return i;
		}
	}
	return -1;
}

void Kruscal2(Matrix_Graph* G)
{
	int initail, end , i , path = 0;
	Edge_Node Edge[100];
	
	//对边集矩阵进行排序---采用冒泡排序方法
	fastSort(Edge, G);
	for (i = 1; i <= G->edge_number; i++)
	{
		initail = Locatevex(G->vertex_number, Edge[i].begin);
		end = Locatevex(G->vertex_number, Edge[i].end);//通过find找寻“待选”边两个顶点的“源顶点”
		if (assists[end].sign != assists[initail].sign && initail != -1 && end != -1)
		{
			printf("路径 %d : [%c %c] , 权值为 %d\n", path+1, G->vertex[Edge[i].begin], G->vertex[Edge[i].end], Edge[i].weight);
			path++;

			//将新生成的树标记为一样
			for (int k = 1; k <= G->vertex_number; k++)
			{
				if (assists[k].sign == assists[end].sign)
				{
					assists[k].sign = assists[initail].sign;
				}
			}

		}
		if (path == G->vertex_number - 1)
		{
			break;
		}
	}

}




//用于思路三： //查找源顶点的集合     //如果属于同一棵树上拥有同一个节点   思路二三比思路一时间复杂度较大
int find_pre(int* parent, int f)//parent[i]数组记录顶点i的father为parent[i],层层追寻father，就可以找到顶点i的“源顶点”
{
	if (parent[f] == f)
		return parent[f];
	return find_pre( parent, parent[f]);
}

//克鲁斯卡尔主功能代码思路三：
void Kruscal3(Matrix_Graph* G)
{
	int i, m, n, path;
	Edge_Node Edge[100];
	int parent[100];

	path = 0;

	//对边集矩阵进行排序---采用冒泡排序方法
	fastSort(Edge, G);

	printf("\nKruscal\n");
	//parent[]数组初始化：将所有顶点的父亲顶点置0
	for (i = 1; i <= G->vertex_number; i++)
	{
		parent[i] = i;
	}

	for (i = 1; i <= G->edge_number; i++)
	{
		n = find_pre(parent, Edge[i].begin);
		m = find_pre(parent, Edge[i].end);//通过find找寻“待选”边两个顶点的“源顶点”
		if (n != m)
		{
			printf("路径 %d : [%c %c] , 权值为 %d\n", path + 1, G->vertex[Edge[i].begin], G->vertex[Edge[i].end], Edge[i].weight);
			path++;
			//将新生成的树标记为一样
			for (int k = 1; k <= G->vertex_number; k++)
			{
				if (parent[k] == parent[n])
				{
					parent[k] = parent[m];
				}
			}

		}
		if (path == G->vertex_number - 1)
		{
			break;
		}
	}

}




int main()
{
	Matrix_Graph* G;
	G = (Matrix_Graph*)malloc(sizeof(Matrix_Graph));
	create_non_direction_matrix_Graph(G);
	Kruscal(G);
	printf("\nKruscal2");
	Kruscal2(G);
	printf("\nKruscal3");
	Kruscal3(G);

	return 0;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340