管理类联考——数学——记忆篇——不同角度解读——二、代数——5.不等式_管理类联考柯西不等式

不等式

不等式在初中、高中甚至竞赛中都是比较相对综合、有难度的一块内容，经常会与方程、函数等其它知识点一起考察，一般的题型有：解不等式、证明不等式、求最大最小值。

一、均值不等式

陈jian

1.算术平均值：设有n个数$x_1,x_2,...,x_n$，称$x=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$为这n个数的算术平均值
2.几何平均值：设有n个正数$x_1,x_2,...,x_n$，称$\sqrt[n]{x_1{x}_2...x_n}$为这n个正数的几何平均值
3.基本定理
当$x_1,x_2,...,x_n$为n个正数时，它们的算术平均值不小于它们的几何平均值，$\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}\ge \sqrt[n]{x_1{x}_2...x_n}$$(x_i＞0，i=1,...,n)$，当且仅当$x_1=x_2=...=x_n$时，等号成立。
说明：平均值定理的本质是研究“和”与“积”的大小关系，即$\frac{和}{n}\ge \sqrt[n]{积}$
4.最值应用
（1）当乘积为定值时，和有最小值：$和\ge n\sqrt[n]{积}$
（2）当和为定值时，乘积有最大值：$积\le (\frac{和}{n}{)}^n$
平均值定理求最值：先验证给定函数是否满足最值三条件：①各项均为正；②乘积（或者和）为定值；③等号能否取到；然后利用平均值公式求出最值。可总结为口诀“一正二定三相等”。
5.特殊情况
当n=2时，$a+b\ge 2\sqrt{ab}(a,b＞0)$；尤其$a+\frac{1}{a}\ge 2（a＞0）$即对于正数而言，互为倒数的两个数之和不小于2，且当a=1时取得最小值2。

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均值不等式定义

一般情况下

对于任意实数a，b，有$a^2+b^2\ge 2ab$，即$\frac{a^2+b^2}{2}\ge ab$，当且仅当$a=b$时等号成立。
特别地，如果$a＞0，b＞0$，可得$a+b\ge 2\sqrt{ab}$，即$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$。（均值不等式），当且仅当a=b时等号成立。

（1）当$x_1,x_2,...,x_n$为n个正实数时，$\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}\ge \sqrt[n]{x_1{x}_2...x_n}(x_i＞0，i=1,...,n)$，当且仅当$x_1=x_2=...=x_n时，等号成立。$
（2）$a+b\ge 2\sqrt{ab}，ab\le \frac{(a+b{)}^2}{4}（a,b＞0）$
（3）$a+\frac{1}{a}\ge 2（a＞0）$

扩展

已知两个正数a，b，则有（当且仅当a=b时取到等号）
$$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\frac{2ab}{a+b}\le \sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}\le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$$

调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数

【注意】均值不等式的使用前提条件： 正、定、等同时成立。
均值不等式中还有一个需要注意的地方：$a,b\in R$

推导加深记忆

均值不等式是由完全平方公式推导而来的

∵ $(a-b{)}^2\ge 0$
∴ $a^2-2ab+b^2\ge 0$
∴ $a^2+b^2\ge 2ab$，这就是均值不等式了
∴ 当且仅当$a=b$时等号成立
注意：a，b可以是数字，可以代数式，如单项式、多项式；整式、分式、指数式、对数式、三角式等等。如：$x+\frac{2}{x}(x＞0)，\frac{2}{x}+\frac{x}{2}(x＞0)，2^x+2^y\ge 2\sqrt{2^{x+y}}，lo{g}_a^b+lo{g}_b^a(lo{g}_a^b＞0)，sinx+\frac{2}{sinx}(sinx＞0)$

有公式就要用

两种用法：
一、是直接使用，形如：$x+\frac{k}{x}(k＞0)$
二、变形后再使用，有好几种，这也是难点所在
1. 负化正
2. 拆添项
3. 凑系数
4. 限定条件下的最值(常数代换，乘常数再除常数），如已知$2a+3b=2，a>0，b>0$，求$\frac{3}{a}+\frac{2}{b}$的最小值。
5. 构造$ax+\frac{b}{x}$型，（此处应该联系分离常数方法，和化为部分分式的变形技巧以及对勾函数或叫耐克函数），形如$\frac{a{x}^2+bx+c}{dx+e}(a,b,c,d,e为常数)$通过“配凑法”或“代换法”转为$ax+\frac{b}{x}$型（分子上使用均值不等式）；形如$\frac{dx+e}{a{x}^2+bx+c}(a,b,c,d,e为常数)$通过“配凑法”或“代换法”转为$\frac{1}{ax+\frac{b}{x}}$型（分母上使用均值不等式）
6. 均值不等式失效时，需要用到对勾函数的单调性。

https://www.cnblogs.com/xuebajunlutiji/p/6082618.html

https://zhuanlan.zhihu.com/p/79542569

二、绝对值不等式

陈jian

1.解题步骤：基本思路是去掉绝对值符号，即把含有绝对值的不等式等价转化为不含绝对值号的不等式求解，常用的方法有：
①分段讨论法：$|f(x)|=f(x)，f(x)\ge 0；|f(x)|=-f(x)，f(x)＜0$
②平方法：$(|f(x)|{)}^2=[f(x){]}^2$
③公式法：$|f(x)|＜a(a＞0)⟺-a＜f(x)＜a；$$|f(x)|＞a(a＞0)⟺f(x)＜-a或f(x)＞a。$
扩展：$|f(x)|＜g(x)⟺-g(x)＜f(x)＜g(x)(g(x)为正)；$
$|f(x)|＞g(x)⟺f(x)＞g(x)或f(x)＜-g(x)(g(x)为正)。$

三、一元二次不等式

陈jian

1.标准形式：$a{x}^2+bx+c＞0（或＜0），且a＞0$
其他非标准形式的不等式可以通过等价变形转化为标准形式。
2.解题步骤
①先化成标准型：$a{x}^2+bx+c＞0（或＜0），且a＞0；$
②计算对应方程的判别式△；
③求对应方程的根；
④利用口诀“大于零在两边，小于零在中间”写出解集。
3.命题方向
①已知不等式，求解集：思路若已知不等式，先分解因式，求出根，再写解集。对于含有参数的不等式，要先判断两根的大小，再写解集。
②已知解集求参数：若已知不等式的解集，解集的端点值是对应方程的根，代入原方程，就可以求出参数了。
③解集为任意实数或空集：对于一元二次不等式$a{x}^2+bx+c＜0（或＞0）$解集为任意实数的充要条件是：a＜0（或＞0）和△＜0。注意，若系数a中含有参数，不要忘记讨论系数a为0的情况。

鑫quan

含有一个未知数且未知数的最高次数为二次的不等式叫作一元二次不等式，一般形式为
$a{x}^2+bx+c＞0或a{x}^2+bx+c＜0（a\ne 0）$

四、分式不等式

1. 解法

陈jian

1.简单分式不等式

$\frac{x-a}{x-b}\ge 0（a＜b）$的解集为{$x|x\le a或x＞b$}；
$\frac{x-a}{x-b}\le 0（a＜b）$的解集为{$x|a\le x＜b$}；

2.其他分式不等式
分式不等式的解法一般通过移项整理成标准型$\frac{f(x)}{g(x)}＞0$或$\frac{f(x)}{g(x)}＜0$，再等价化成不等式来解。
①$\frac{f(x)}{g(x)}＞0$⟺$f(x)\ast g(x)＞0$
②$\frac{f(x)}{g(x)}＜0$⟺$f(x)\ast g(x)＜0$
③$\frac{f(x)}{g(x)}\ge 0$⟺$f(x)g(x)\ge 0，g(x)\ne 0$
④$\frac{f(x)}{g(x)}\le 0$⟺$f(x)g(x)\le 0，g(x)\ne 0$
最后再讨论各因子的符号或按数轴标根法写出解集。

五、高次不等式

高次不等式——穿线法
1.解题步骤：
“数轴穿线法”用于解一元高次不等式非常方便，其解题步骤如下：
①分解因式，化成若干个因式的乘积；
②作等价变形，便于判断因式的符号，例如：$x^2+1,x^2+x+1,x^2-3x+5$等，这些因式的共同点是：无论x取何值，式子的代数值均大于零;
③由小到大，从左到右标出与不等式对应的方程的根；
④从右上角起，“穿针引线”；
⑤重根的处理,依“奇穿偶不穿”原则；
⑥画出解集的示意区域，如图4-1，从左到右写出解集。
$f(x)=(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_2)$

有一项为负，其他为正

遇零点变号，阴影部分为$f(x)＞0$的解集.
评注：穿线法是先在数轴上标注出每个因式的零点，然后从右上方穿一条线，遇到零点就穿过一次，图像在数轴上方代表大于零，在数轴下方代表小于零.需要注意的是，对于偶数次方的因式，该零点不穿透。另外在使用穿线法的时候，x的系数都要转化为正数来分析。
2.命题方向
遇到高次方可分解因式的不等式问题，一般方法是等价变形，采用简洁的穿线法求解。

六、无理不等式

陈jian

对于无理不等式，一般是通过平方转化为有理不等式进行求解。在求解时，注意根号要有意义。
命题方向：遇到无理不等式，先去掉根号，在遇到偶次方根时不要忘记定义域。

七、指数、对数不等式

陈jian

遇到指数或对数不等式，结合单调性进行分析，或者换元转化为一般的不等式求解。

八、柯西不等式

$(a^2+b^2)(c^2+d^2)\ge (ac+bd{)}^2$
1.推导过程如下：
$(a^2+b^2)(c^2+d^2)-(ac+bd{)}^2=a^2{c}^2+a^2{d}^2+b^2{c}^2+b^2{d}^2-(a^2{c}^2+2abcd+b^2{d}^2)=a^2{d}^2-2abcd+b^2{c}^2=(ad-bc{)}^2\ge 0$，故$(a^2+b^2)(c^2+d^2)\ge (ac+bd{)}^2$
2.命题方向：遇到单独的平方和及混合项的平方时，采用柯西不等式分析。