数据结构——B树_b树结点关键字个数

一、B树的特点

B树也叫多路平衡查找树，它有如下特点：

1. 每个结点最多有m-1个关键字（m指阶数，阶代表B树中所有节点的孩子个树的最大值），至少有m棵子树；
2. 根节点最少可以只有1个关键字（若根节点为非终端结点，最少有两棵子树）；
3. 非根节点至少有⌈m/2⌉-1个关键字；
4. 每个结点中的关键字都按照从小到大的顺序排列，每个关键字的左子树中的所有关键字都小于它，而右子树中的所有关键字都大于它；
5. 所有叶子节点都位于同一层，并且不携带信息（即绝对平衡）；
6. 每个节点都存有索引和数据，也就是对应的key和value。

关键字数量范围：根节点：1~m-1；非叶节点：⌈m/2⌉-1~m-1
1

二、B树的查找

B树查找包含两个基本操作：

1. 在B树中找节点；
2. 在结点中找关键字。

B树的查找和二叉排序树很相似，可以看作是二叉排序树的扩展，二叉排序树是二路查找，B树是多路查找，因为B树结点内的关键字是有序的，在结点内进行查找时除了顺序查找外，还可以用折半查找来提升效率。B树的具体查找步骤如下（假设查找的关键字为key）：

• 从根结点开始，在结点包含的关键码中查找给定的关键码，找到则查找成功；
• 否则确定给定关键码可能在的子树，重复上面的操作，直到查找成功或者指针为空为止。

三、B树的插入

规则：
判断当前结点key的个数是否小于等于m-1，

• 若满足，则直接插入；
• 若不满足，将结点的中间的key将这个结点分为左右两部分，中间的结点放到父节点中。

举例

在5阶B树中，结点最多有4个key，最少有2个key

(1) 插入18，70，50，40

(2) 插入22

因为B树的阶为5，所以每个节点的key最多只有4个，而此时插入22之后根节点中有5个key，因此需要进行分裂：

(3) 插入23，25，39

插入的3个数据都比根节点40要大，因此都插入到左节点当中：

插入结点之后，左节点中的关键字已经超过了最大能包含的关键字数，因此需要进行分裂，将23放到父节点当中：

四、B树的删除

1. 当被删的关键字k不在终端节点时（最底层的非叶结点）中时，用k的前驱（或后继）k’来替代k，然后在相应的结点中删除k’，关键字k’必定落在某个终端节点中，则转换成了被删关键字在终端节点中的情形。

2. 当被删关键字在终端结点中时，有三种情况：

   (1) 直接删除关键字。若被删关键字所在结点的关键字个数>=⌈m/2⌉，表明删除该关键字之后仍然满足B树的定义，则直接删去该关键字。

   (2) 兄弟够借。若被删关键字所在结点删除前的关键字个数=⌈m/2⌉-1，且与该节点相邻的右(或左)兄弟结点的关键字个数>=⌈m/2⌉，则需要调整该节点、右(或左)兄弟结点及其双亲结点(父子换位法)，以达到新的平衡。

   (3) 兄弟不够借。若被删关键字所在结点删除前的关键字个数=⌈m/2⌉-1，且此时与该节点相邻的右、左兄弟结点的关键字个数均=⌈m/2⌉-1，则将关键字删除后与左(或右)兄弟结点即双亲结点中的关键字进行合并。

   在合并过程中，双亲结点的关键字个数会减1。若其双亲结点是根节点且关键字个数减少至0（根节点关键字个数为1时，有2棵子树），则直接将根节点删除，合并后的新节点成为根节点；若双亲结点不是根节点，且关键字个数减少到⌈m/2⌉-2，则又要与他自己的兄弟节点进行调整或合并操作，并重复上述步骤，直至符合B树的要求为止。

举例：下面是一棵5阶B树，则非根节点关键字个数范围为：2~4

（1）删除21，此时删除的是终端节点关键字，删除之后结点关键字数为2，大于>=⌈m/2⌉-1，可以直接删除：（紫色代表被删除的元素）

（2）删除27，此时删除的结点为非终端节点关键字，需要用他的前驱或者后继元素覆盖要删除的关键字（这里选择的是后继元素28），然后在后继关键字所在的分支中将该后继关键字删除。

但是删除27之后，后继关键字所在的分支只留下29一个关键字，关键字的个数<⌈m/2⌉-1，而他的左兄弟结点元素个数>=⌈m/2⌉，则先将父节点的元素移到该节点，再将兄弟节点的元素移动到父节点：

（3）删除32，删除的为终端节点关键字，删除32之后其所在的结点关键字个数<⌈m/2⌉-1，并且他的兄弟节点没有多余的元素可以借。首先将父节点的元素移到该节点，然后将当前节点与兄弟节点合并，形成新节点。

将当前结点与兄弟节点合并：

（4）删除40，删除的为终端节点关键字，删除40之后其所在的结点关键字个数<⌈m/2⌉-1，并且他的兄弟节点没有多余的元素可以借。首先将父节点的元素移到该节点，然后将当前节点与兄弟节点合并，形成新节点。

与兄弟结点合并：

而父节点此时并不满足条件，且它的兄弟并没有多余的关键字可以给他，因此将父节点的父节点中的关键字移动到父节点当中，并且和兄弟节点合并：

此时父节点的父节点关键字个数减少至0，则直接将父节点的父节点删除，合并后的父节点成为根节点。

五、B树的使用场景40

用作文件系统的索引。

六、B树的优点

B树和二叉树、红黑树相比，子树更多，树的高度更低，搜索效率更高。若子树太多就可能变成一个有序数组，所以不能无限增加子树数量，因为文件系统和数据库一般都是存在电脑硬盘上的，若数据量太大不一定能一次性加载到内存中，但是B树可以多路存储，因此在文件查找时每次只加载一个结点的内容存入内存来查找，而红黑树在内存中查找非常快，但是在数据库和文件系统中，B树更优。