代码随想录算法训练营day21||回溯算法基础 77

Day21

回溯算法理论基础

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什么是回溯法

• 回溯函数也就是递归函数，指的都是一个函数

回溯法的效率

• 虽然回溯法很难，很不好理解，但是回溯法并不是什么高效的算法

• 因为回溯的本质是穷举，穷举所有可能，然后选出我们想要的答案，如果想让回溯法高效一些，可以加一些剪枝的操作，但也改不了回溯法就是穷举的本质。

• 那么既然回溯法并不高效为什么还要用它呢？

• 因为没得选，一些问题能暴力搜出来就不错了，撑死了再剪枝一下，还没有更高效的解法。

回溯法解决的问题

回溯法，一般可以解决如下几种问题：

• 组合问题：N个数里面按一定规则找出k个数的集合

• 切割问题：一个字符串按一定规则有几种切割方式

• 子集问题：一个N个数的集合里有多少符合条件的子集

• 排列问题：N个数按一定规则全排列，有几种排列方式

• 棋盘问题：N皇后，解数独等等

每个问题，都不简单！

什么是组合，什么是排列？

组合是不强调元素顺序的，排列是强调元素顺序。

例如：{1, 2} 和 {2, 1} 在组合上，就是一个集合，因为不强调顺序，而要是排列的话，{1, 2} 和 {2, 1} 就是两个集合了。

记住组合无序，排列有序，就可以了。

如何理解回溯法

回溯法解决的问题都可以抽象为树形结构

因为回溯法解决的都是在集合中递归查找子集，集合的大小就构成了树的宽度，递归的深度，就构成的树的深度。

递归就要有终止条件，所以必然是一棵高度有限的树（N叉树）。

这块可能初学者还不太理解，后面的回溯算法解决的所有题目中，我都会强调这一点并画图举相应的例子，现在有一个印象就行。

回溯法模板

• 回溯函数模板返回值以及参数

在回溯算法中，我的习惯是函数起名字为backtracking，这个起名大家随意。

回溯算法中函数返回值一般为void。

再来看一下参数，因为回溯算法需要的参数可不像二叉树递归的时候那么容易一次性确定下来，所以一般是先写逻辑，然后需要什么参数，就填什么参数。

void backtracking(参数)

• 回溯函数终止条件

既然是树形结构，就知道遍历树形结构一定要有终止条件。

所以回溯也有要终止条件。

什么时候达到了终止条件，树中就可以看出，一般来说搜到叶子节点了，也就找到了满足条件的一条答案，把这个答案存放起来，并结束本层递归。

if (终止条件) {
    存放结果;
    return;
}

• 回溯搜索的遍历过程

在上面我们提到了，回溯法一般是在集合中递归搜索，集合的大小构成了树的宽度，递归的深度构成的树的深度。

for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
    处理节点;
    backtracking(路径，选择列表); // 递归
    回溯，撤销处理结果
}

for循环就是遍历集合区间，可以理解一个节点有多少个孩子，这个for循环就执行多少次。

backtracking这里自己调用自己，实现递归。

大家可以从图中看出for循环可以理解是横向遍历，backtracking（递归）就是纵向遍历，这样就把这棵树全遍历完了，一般来说，搜索叶子节点就是找的其中一个结果了。

void backtracking(参数) {
    if (终止条件) {
        存放结果;
        return;
    }
 
    for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
        处理节点;
        backtracking(路径，选择列表); // 递归
        回溯，撤销处理结果
    }
}

77. 组合

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力扣题目链接

给定两个整数 n 和 k，返回 1 ... n 中所有可能的 k 个数的组合。

思路

每次从集合中选取元素，可选择的范围随着选择的进行而收缩，调整可选择的范围。

图中可以发现n相当于树的宽度，k相当于树的深度。

那么如何在这个树上遍历，然后收集到我们要的结果集呢？

图中每次搜索到了叶子节点，我们就找到了一个结果。

相当于只需要把达到叶子节点的结果收集起来，就可以求得 n个数中k个数的组合集合。

代码

class Solution {
    List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
    LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();//设置两个全局变量
 
    public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {
        backtracking(n, k, 1);
        return res;
    }
 
    private void backtracking(int n, int k, int startIndex) {
        if (path.size() == k) {
            res.add(new ArrayList<>(path));//如果size满足要求了，就加入res中，然后return
            return;
        }
        for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++) {//从startindex开始循环
            //i <= n
            path.addFirst(i);//加上这个元素
            backtracking(n, k, i + 1);//进行递归
            path.removeFirst();//注意要回溯
        }
    }
}

• 假设n = 5，k = 2

• 最开始startIndex为1；判断后size不满足要求，进入循环，把1加入path中，然后递归

• 判断size不满足要求，进入循环，把2放入path中，进入第二层递归

• size满足要求，结果放入res中，return到上层；remove了2；注意这时还在第一层的递归中，因此继续循环；把3加入；进入递归，满足size，加入res，弹出元素；再继续循环......直到弹出5，这一部分循环结束，意味着这一层的函数执行结束，上一层递归结束，弹出1；这时12 13 14 15已经加入res了

• 之后加入2，进入递归，size不满足要求，加上3，再进入递归，满足要求，加入res，返回到上层递归，然后弹出3，加入4...直到弹出5，循环结束，弹出2；之后继续加入3...

• 已经有path.size() = 2个元素了，假如k是4，那就还需要2个元素，所以如果剩下的元素不足k - path.size() = 2个，就不需要看了，假如n是6，所以最多到下标是5，也就是n - (k - path.size()) + 1