PTA数据结构与算法-第五章——树与二叉树_高度为5的完全二叉树有多少种形态

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第一章——褚论

第二章——线性表

第三章——栈与队列

第四章——字符串

第五章——树与二叉树

第六章——图

第七章——排序

第八章——检索

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判断题

1-2
设只包含根结点的二叉树高度为0，则高度为k的二叉树最小结点数为k+1。
T 举例子即可证明正确

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1-3
关于树和二叉树
二叉树是度为 2 的树。
F

二叉树的度是指树中所有结点的度数的最大值。二叉树的度小于等于2，因为二叉树的定义要求二叉树中任意结点的度数（结点的分支数）小于等于2 。

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1-4
具有10个叶结点的二叉树中，有9个度为2的结点。
T
n0=n2+1

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1-5
在含有n个结点的树中，边数只能是n-1条。
T

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1-6
完全二叉树中，若一个结点没有左孩子，则它必是树叶。
T 根据完全二叉树的性质可以得出。

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1-7
在任意一棵二叉树中，分支结点的数目一定少于叶结点的数目。
F

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1-8
二叉树是一种特殊的树。
F
解析：

二叉树不是一种特殊的树，二叉树可以为空，树不能为空。
树和二叉树的2个主要差别：
1、树中结点的最大度数没有限制，而二叉树结点的最大度数为2；
2、树的结点无左、右之分，而二叉树的结点有左、右之分。……
注意：尽管二叉树与树有许多相似之处，但二叉树不是树的特殊情形。

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1-9
二叉树只能用二叉链表表示。
F

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1-10
树形结构中元素之间存在一个对多个的关系。
T

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1-11
某二叉树的前序和中序遍历序列正好一样，则该二叉树中的任何结点一定都无左孩子。
T
解析
前序遍历tLR,遇到每一个结点，现访问当前结点的data域，再访问左子树，再访问右子树，重复上述过程。
中序遍历LtR，遇到每一个结点，先访问左子树，直到叶结点，再访问叶结点的data域，再访问右子树，重复上述过程。
故想要前序和中序遍历序列一样，易得出该二叉树中的任何结点一定都无左孩子。

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1-13
若一个结点是某二叉树的中序遍历序列的最后一个结点，则它必是该树的前序遍历序列中的最后一个结点。
F
中序遍历：LtR
前序遍历：tLR
若该树任何结点都无右孩子，很容易判断是F

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1-14
某二叉树的后序和中序遍历序列正好一样，则该二叉树中的任何结点一定都无右孩子。
T
解析：
后序遍历：LRt
中序遍历：LtR
若该二叉树中的任何结点都无右孩子，去掉R
两种遍历变成：都变成LR；正确

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1-16
若A和B都是一棵二叉树的叶子结点，则存在这样的二叉树，其前序遍历序列为…A…B…，而中序遍历序列为…B…A…。
F
先序中序后序是对根结点而言，叶子结点的顺序保持不变。

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1-18
将一棵完全二叉树存于数组中（根结点的下标为1）。则下标为23和24的两个结点是兄弟。
F
解析：
根结点为n的左孩子为2n，右孩子为2n+1.
故23和24不可能是兄弟。

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1-19
一棵有124个结点的完全二叉树，其叶结点个数是确定的。
T
解析：

• 二叉树的所有结点数应该为度分别为0,1,2的结点数的总和。
• 度为0的结点时叶结点；
• 度为2的结点+1=度为0的结点

n1+n2+n0=124;
n2+1=n0;
将下式代入上式可得2n2+n1=123
由完全二叉树的性质可得：n1为0或1
显然，若n1为0，n2=61.5（不是整数不符合条件）
所以n1为1，n2=61，n0=62；确定。

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1-22
非空的二叉树一定满足：某结点若有左孩子，则其中序前驱一定没有右孩子。
T
解析：
所谓中序遍历就是左子树、根、右子树 设某结点为A，它的中序前驱是B 按照正常中序遍历的次序中，如果B有右子树，则B遍历完了后会遍历其右子树，而不是马上遍历A，但是现在是B遍历完了就是A，因此： 某结点如果有左孩子，则其中序前驱一定没有右孩子

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1-24
用链表(llink-rlink)存储包含n个结点的二叉树，结点的2n个指针区域中有n-1个空指针。
F
解析：
n个结点的二叉树一共有2n个指针域。**非空指针数等于树的边数（n-1）。**所以空指针数等于2n-（n-1）=n+1

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1-26
哈夫曼编码是一种最优的前缀码。对一个给定的字符集及其字符频率，其哈夫曼编码不一定是唯一的，但是每个字符的哈夫曼码的长度一定是唯一的。
F
哈夫曼编码一定是唯一的

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1-27
在哈夫曼编码中，当两个字符出现的频率相同时，其编码也相同，对于这种情况应特殊处理。
F
当两个字符出现频率相同时，其编码不相同。

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1-28
哈夫曼树的结点个数不能是偶数。
T

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1-29
哈夫曼树是带权路径长度最短的树，路径上权值较大的结点离根较近。
F
解析：哈夫曼树是带权路径长度最短的二叉树

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1-32
完全二叉树中，若一个结点没有左孩子，则它必是树叶。
T

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1-33
一棵有9层结点的完全二叉树（层次从1开始计数），至少有255个结点。
F
解析：9层全部满的情况下共有2⁹-1=512-1=511个结点。此时是一棵9层的满二叉树；
解法一：
第9层最多有2⁸=256个结点，一棵有9层结点的完全二叉树，结点最少的情况是第9层只有一个结点。也就是将9层满二叉树的结点数511-255=256个结点。
解法二：
计算8层满二叉树的结点数+1：即2⁸-1+1=256个结点。

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1-34
完全二叉树一定存在度为1的结点。
F
解析：当该完全二叉树为满二叉树时便不存在度为1的结点。

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1-35
完全二叉树中，若一个结点没有左孩子，则它必是树叶。
T
根据完全二叉树的性质易得。

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1-36
在一棵由包含4、5、6等等一系列整数结点构成的二叉搜索树中，如果结点4和6在树的同一层，那么可以断定结点5一定是结点4和6的父亲结点。
F

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1-38
如果完全二叉树从根结点开始按层次遍历的输入序列为1,2,3,4,5,6,7，则该完全二叉树是二叉排序树。
F

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1-39
对两棵具有相同关键字集合而形状不同的二叉排序树，按中序遍历它们得到的序列的顺序却是一致的。
T
首先介绍什么是二叉树：
二叉排序树或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：
（1）若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
（2）若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
（3）左、右子树也分别为二叉排序树；
（4）没有键值相等的节点。
中序遍历它以后，也就是 排成 从小到大的顺序 ， 所以得到的序列的顺序却是一致的 。

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1-40
在二叉排序树中，每个结点的关键字都比左孩子关键字大，比右孩子关键字小。
T

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1-41
在二叉排序树中，新结点总是作为树叶来插入的。
T

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1-42
二叉排序树的查找效率和二叉排序树的髙度有关。
T

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单选题

2-1树最适合于用来表示

有序数据元素
无序数据元素
元素之间无联系的数据
元素之间具有分支层次关系的数据

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2-3
设每个d叉树的结点有d个指针指向子树，有n个结点的d叉树有多少空链域？

nd
n(d−1)
n(d−1)+1
以上都不是
分析：
每个d叉树的结点有d个链域（就是d条边，每个结点不满d条边的，少几条边就几个空链域）
应该具有边的条数：nd
现有边的条数：n-1
空链域个数：nd-（n-1）= n(d−1)+1

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2-5
在下述结论中，正确的是：
① 只有2个结点的树的度为1；
② 二叉树的度为2；
③ 二叉树的左右子树可任意交换；
④ 在最大堆（大顶堆）中，从根到任意其它结点的路径上的键值一定是按非递增有序排列的。

①④
②④
①②③
②③④

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2-6
如果一棵非空k（k≥2）叉树T中每个非叶子结点都有k个孩子，则称T为正则k叉树。若T有m个非叶子结点，则T中的叶子结点个数为：
mk
m(k−1)
m(k−1)+1
m(k−1)−1

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2-9
一棵二叉树中，双分支结点数为15，单分支结点数为30，则叶子结点数为（）个。

15
16
17
47
根据二叉树的性质3，叶结点数n0与度为2的结点数n2的关系是：n0=n2+1。

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2-11
深度为6的二叉树最多有( )个结点。

64
63
32
31
解析：2⁶-1=63；

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2-16
一个具有1025个结点的二叉树的高h为（ ）个。
11
10
11至1025之间
10至1024之间

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2-20
若将一棵树 T 转化为对应的二叉树 BT，则下列对 BT 的遍历中，其遍历序列与 T 的后根遍历序列相同的是：

先序遍历
中序遍历
后序遍历
按层遍历
解析：
一棵树的后根遍历与这棵树所对应的二叉树的中序遍历相同。因为树转化为二叉树后是没有右子树的，所以最后访问的是树的根结点。

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2-21
对 n 个互不相同的符号进行哈夫曼编码。若生成的哈夫曼树共有 115 个结点，则 n 的值是：
56
57
58
60
解析：
哈夫曼树的特点性质：（节点为的度数为0 表示 n0,以此类推）
①哈夫曼树中只存在度为2和度为0的节点，及n1=0。
②哈夫曼树中，度为0和度为2的节点关系：n2=n0-1

由以上两个性质，本题就很好解出答案：
n0+n2=115 =>
n0+n0-1=115 =>
n0=(115+1)/2=58

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-24
对于图所示二叉树，试给出：

它的顺序存储结构

ABCDEF ^ ^ ^ G ^ ^H
ABD^ ^ EG ^ ^ ^ CF^H
DBGE ^ A^ FHC
DGE ^ B ^ HFC^A

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2-25
利用二叉链表存储树，则根结点的右指针是（ ）。

指向最左孩子
指向最右孩子
空
非空

解析：
二叉链表根节点的左指针指向树的根节点，右指针指向树的根节点的兄弟。
树的根节点没有兄弟，因此为空。
扩展：

树的二叉链表： 孩子兄弟表示法
顺序表示法：树的双亲表示法
链接表表示法： 树的孩子表示法
单链表表示法：孩子链表表示法
双孩子表示法：二叉树的二叉链表
三叉链表加了双亲指针

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2-26
在下列存储形式中，（ ）不是树的存储形式。

双亲表示法
孩子链表表示法
孩子兄弟表示法
顺序存储表示法

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2-31
在一棵度为 3 的树中，度为 2 的结点个数是 1，度为 0 的结点个数是 6，则度为 3 的结点个数是 __

2
3
4
无法确定
解析：
树中结点总数是n0+n1+n2+n3-----①
所有边的总数为0 * n0+1 * n1+2*n2+3 * n3-----②
树中结点比边多一：①-②=1
可以得到n0=1+n2+2 *n3
代入n2=1，n0=6
可以得到n3=2

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2-32
对于任意一棵高度为 5 且有 10 个结点的二叉树，若采用顺序存储结构保存，每个结点占 1 个存储单元（仅存放结点的数据信息），则存放该二叉树需要的存储单元的数量至少是：
31
16
15
10
解析：因为是顺序存储结构保存，所以需要的存储单元是给定高度的全部结点都要考虑。
高度为5的满二叉树共有：
2⁵-1=31个结点
31*1个存储单元=31；

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2-15
某二叉树的中序序列和后序序列正好相反，则该二叉树一定是

空或只有一个结点
高度等于其结点数
任一结点无左孩子
任一结点无右孩子
解析：
中序遍历LtR
后序遍历LRt
正好相反，去掉L分别为tR，Rt
即：任一结点无左孩子

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2-19
如果二叉树的后序遍历结果是FDEBGCA，中序遍历结果是FDBEACG，那么该二叉树的前序遍历结果是什么？
ABCDEFG
ABDFEGC
ABDFECG
ABDEFCG

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2-23
设n、m为一棵二叉树上的两个结点，在中序遍历时，n在m前的条件是

n在m左方
n在m右方
n是m祖先
n是m子孙

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2-30
将 {28, 15, 42, 18, 22, 5, 40} 逐个按顺序插入到初始为空的最小堆（小根堆）中。则该树的前序遍历结果为：

5, 18, 15, 28, 22, 42, 40
5, 15, 18, 22, 28, 42, 40
5, 18, 28, 22, 15, 42, 40
5, 15, 28, 18, 22, 42, 40

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2-34
将{5, 2, 7, 3, 4, 1, 6}依次插入初始为空的二叉搜索树。则该树的后序遍历结果是：

1, 2, 3, 4, 6, 7, 5
1, 4, 2, 6, 3, 7, 5
1, 4, 3, 2, 6, 7, 5
5, 4, 3, 7, 6, 2, 1

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2-35
将 {5, 2, 7, 3, 4, 1, 6} 逐个按顺序插入到初始为空的最小堆（小根堆）中。则该树的前序遍历结果为：

1, 3, 2, 5, 4, 7, 6
1, 2, 3, 4, 5, 7, 6
1, 2, 5, 3, 4, 7, 6
1, 3, 5, 4, 2, 7, 6

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2-39
将{ 3, 8, 9, 1, 2, 6 }依次插入初始为空的二叉搜索树。则该树的后序遍历结果是：

2, 1, 3, 6, 9, 8
1, 2, 8, 6, 9, 3
2, 1, 6, 9, 8, 3
1, 2, 3, 6, 9, 8

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2-42
二叉树的中序遍历也可以循环地完成。给定循环中堆栈的操作序列如下（其中push为入栈，pop为出栈）：

push(1), push(2), push(3), pop(), push(4), pop(), pop(), push(5), pop(), pop(), push(6), pop()
以下哪句是对的？

6是根结点
2是4的父结点
2和6是兄弟结点
以上全不对

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2-46
要使一棵非空二叉树的先序序列与中序序列相同，其所有非叶结点须满足的条件是：

只有左子树
只有右子树
结点的度均为1
结点的度均为2

解析：
先序序列：tLR
中序序列：LtR
要使它们相同，去掉L即可。所以只有右子树

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2-47
已知一棵二叉树的树形如下图所示，其后序序列为{ e, a, c, b, d, g, f }。树中与结点a同层的结点是：

c
d
f
g

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2-27
设一段文本中包含字符{a, b, c, d, e}，其出现频率相应为{3, 2, 5, 1, 1}。则经过哈夫曼编码后，文本所占字节数为：

40
36
25
12

文本所占字节数：每个字符对应出现频率×路径长度之和。
即：1x4+1x4+3x2+3x2+5x1=25

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2-28
设一段文本中包含4个对象{a,b,c,d}，其出现次数相应为{4,2,5,1}，则该段文本的哈夫曼编码比采用等长方式的编码节省了多少位数？

0
2
4
5
解析：

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2-29
由分别带权为9、2、5、7的四个叶子结点构成一棵哈夫曼树，该树的带权路径长度为：

23
37
44
46

9x1+2x7+3x2+3x5=44

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已知字符集{ a, b, c, d, e, f, g, h }。若各字符的哈夫曼编码依次是 0100, 10, 0000, 0101, 001, 011, 11, 0001，则编码序列 0100011001001011110101 的译码结果是：

acgabfh
adbagbb
afbeagd
afeefgd

解析：
0100 011 001 001 011 11 0101
a------f------e----e----f-----g-----d

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2-37
在一个用数组表示的完全二叉树中，如果根结点下标为1，那么下标为17和19这两个结点的最近公共祖先结点在哪里（数组下标）？ （注：两个结点的“公共祖先结点”是指同时都是这两个结点祖先的结点）

8
4
2
1
解析：
处于 i 处结点的父节点一定为 [i / 2] (小于 i / 2的最大整数) 的结点 ， 因此17， 19不断除以二，直至相等。
①17 / 2 = 8, 19 / 2 = 8;
②8 / 2 = 4, 8 / 2 = 4。

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2-38
具有1102个结点的完全二叉树一定有__个叶子结点。

79
551
1063
不确定

解析：
n0+n1+n2=1102
n0=n2+1
n1=0或1
联立得：
2n0+n1=1103
若n1=0，n0解不出正整数，所以排除。n1只能为1
故n0=551；

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程序填空题

5-1
下列代码的功能是将二叉树T中的结点按照层序遍历的顺序输出。

typedef struct TreeNode *Tree;
struct TreeNode
{
   int Key;
   Tree  Left;
   Tree  Right;
};

void Level_order ( Tree T )
{
   Queue Q;

   if ( !T ) return; 
   Q = CreateQueue( MaxElements ); 
   Enqueue( T, Q ); 
   while ( !IsEmpty( Q ) ){
      T = Front_Dequeue ( Q ); /* return the front element and delete it from Q */
      printf("%d ", T->Key);
      if ( T->Left ) 
         
Enqueue( T->Left, Q )
;
      if ( 
T->Right
 ) 
         
Enqueue( T->Right, Q )
;
   }
}
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28
29
30

Enqueue( T->Left, Q )
T->Right
Enqueue( T->Right, Q )

---

5-2
下列代码的功能是计算给定二叉树T的宽度。二叉树的宽度是指各层结点数的最大值。函数Queue_rear和Queue_front分别返回当前队列Q中队尾和队首元素的位置。

typedef struct TreeNode *BinTree;
struct TreeNode
{
   int Key;
   BinTree  Left;
   BinTree  Right;
};

int Width( BinTree T )
{
   BinTree  p;
   Queue Q;
   int Last, temp_width, max_width;

   temp_width = max_width = 0;
   Q = CreateQueue(MaxElements);
   Last = Queue_rear(Q);
   if ( T == NULL) return 0;
   else {
      Enqueue(T, Q);
      while (!IsEmpty(Q)) {
         p = Front_Dequeue(Q); 
         
temp_width++
; 
         if ( p->Left != NULL )  Enqueue(p->Left, Q);
         
if ( p->Right != NULL )  Enqueue (p->Right, Q)
;  
         if ( Queue_front(Q) > Last ) {
            Last = Queue_rear(Q);
            if ( temp_width > max_width ) max_width = temp_width;
            
temp_width = 0
;
         } /* end-if */
      } /* end-while */
      return  max_width;
   } /* end-else */
} 
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30
31
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33
34
35
36
37
38
39
40

temp_width++
if ( p->Right != NULL ) Enqueue (p->Right, Q)
temp_width = 0

---

5-3
本函数的功能是从有N个元素的线性表A中查找第K大的元素。其中函数BuildMinHeap(H, K)是将元素H[1] … H[K]调整为一个最小堆。请完成下列填空。

ElementType FindKthLargest ( int A[], int N, int K )
{   /* it is assumed that K<=N */
    ElementType *H;
    int i, next, child;

    H = (ElementType *)malloc((K+1)*sizeof(ElementType));
    for ( i=1; i<=K; i++ ) H[i] = A[i-1];
    BuildMinHeap(H, K);

    for ( next=K; next<N; next++ ) {
        H[0] = A[next];
        if ( H[0] > H[1] ) {
            for ( i=1; i*2<=K; i=child ) {
                child = i*2;
                if ( child!=K && 
H[child+1]<H[child]
 ) child++;
                if ( 
H[0]>H[child]
 )
                    H[i] = H[child];
                else break;
            }
            H[i] = H[0];
        }
    }
    return H[1];
}

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25
26
27
28
29

H[child+1]<H[child]
H[0]>H[child]

---

5-4
下列代码的功能是将存有N个元素的数组A[]调整为最小堆。

#define leftchild(i) ( 2*(i)+1 )

void BuildMinHeap( ElementType A[], int N )
{  int i, j, child;
   ElementType Tmp;

   for ( i = (N-1)/2; i >= 0; i-- ) {
      j = i;
      for ( Tmp = A[j]; leftchild(j) < N; j = child ) {
         child = leftchild(j);
         if (
child!=N-1 && A[child+1]<A[child]
)
            child ++;
         if (
Tmp > A[child]
)   A[j] = A[child];
         else  break;
      }
      
A[j] = Tmp
;
   }
}
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child!=N-1 && A[child+1]<A[child]
Tmp > A[child]
A[j] = Tmp