数据结构与算法知识梳理_数据结构与算法知识点总结

⼀、基础知识

1、数据结构

逻辑结构：数据对象中数据元素之间的相互关系。

物理结构：数据的逻辑结构在计算机中的存储形式。

四⼤逻辑结构：集成结构、线性结构、树形结构、图形结构。

顺序存储结构：数据元素存放在地址连续的存储单元，数据间的逻辑关系和物理关系是⼀致的。

链式存储结构：数据元素存放在任意的存储单元，

2、算法效率

1. 算法采⽤的策略、⽅案；

2. 编译产⽣的代码质量；

3. 问题的输⼊模块；

4. 机器执⾏命令的速度；

⼆、线性表

1、链表

单链表，只有⼀个存放指针的模块，存放地址可以不连续，访问是⽅便访问当前节点的后继节点；

双链表，⼀个数据元素单元有两个存放指针的模块，⼀个指针指向前继节点，⼀个指针指向后继节点。

链表中因为头结点也会有所不同，可以循环链表或者其他，主要注意链表中指针的操作，属于细节问题且必须掌握，不赘述。

2、栈、队列

栈：先进后出。

队列：先进先出。

三、树

1、基础知识

树：是n个节点的有限集。

⼆叉树：除叶⼦结点外，每个节点的⼦节点数最多为2，空树也是⼆叉树。

满⼆叉树：⾮叶⼦节点的⼦结点数都为2,。

完全⼆叉树：叶⼦结点只能出现最下两层，可以⾮叶⼦结点可以只有左结点，但不可以有只有右结点。

⼆叉树性质：

1. 在⼆叉树的第i层⾄多有2^i-1个结点。

2. 深度为k的⼆叉树⾄多有2^k-1个结点。

3. 对于任何⼀个⼆叉树，叶⼦结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1

4. 具有n个结点的完全⼆叉树的深度为log2n+1（向下取整）。

2、树的遍历

前序遍历：先访问根节点，再访问左结点，最后访问右结点。

中序遍历：先访问左结点，再访问根节点，最后访问右结点。

后序遍历：先访问左节点，再访问右结点，最后访问根节点。

层序遍历：⼀层⼀层的访问树的结点。

备注：构建树代码编写时常常使⽤递归（其他有关树操作也是）。

3、线索⼆叉树

线索⼆叉树中存放⼀个结点时分为五块，从左⾄右分别为：lchild，ltag，data，rtag，rchild。（构造时以中序遍历基础）

1. ltag为0时，lchild指向该结点的左孩⼦；为1时，lchild指向该结点的前驱；

2. rtag为0时，rchild指向该结点的右孩⼦；为1时，rchild指向该结点的后继；

4、⼆叉树、树、森林

树转⼆叉树：①在树中所有的兄弟之间加⼀条连线；②对每⼀个结点，除了保留与其左孩⼦(长⼦)的连线外，去掉该结点与其他孩⼦的连线。

森林转⼆叉树：①先将森林的每棵树变为⼆叉树；②再将各个⼆叉树的根节点视为兄弟似的从左⾄右的连在⼀起（第⼀个树转为⼆叉树的右⼦树）。

⼆叉树转树：①若结点x是其双亲y的结点，则把x的右孩⼦，右孩⼦的右孩⼦，，，，都与y连在⼀起；②去掉所有双亲到右孩⼦的连线。备注：树的前序遍历对应树的⼆叉树的前序的遍历，后序遍历对应⼆叉树的中序遍历。

四、图

1、基础知识

图（Graph）是由顶点的有穷⾮空集合和顶点之间的边的集合组成，通常为G（V,E）其中G表⽰⼀个图，V是图G中顶点的集合，E是图中边的集合。

顶点：为图中数据元素。

⽆向边：顶点之间的边没有⽅向。

有向边：顶点之间的边有⽅向（出度：为指向其他顶点的边数，⼊度：为指向本顶点的边数）。

⽆向完全图：在⽆向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称改图为⽆向图，含有n个顶点的⽆向图有n*(n-1)/2条边。

有向完全图：如果任意两个顶点之间都存在⽅向互为相反的两条弧，则称该图为有向图。

G1（V1,E1)，G2（V2,E2），若V2包含于V1，E2包含于E1，则G2为G1的⼦图。

备注：每条带有权重的图就叫⽹

2、图的存储

领接矩阵：适合稠密图

⽤两个数组表⽰图，顶点放在⼀位数组，边放在⼆维数组。⽆向图为对称矩阵，有向图则不是。

邻接表：适合稀疏图

顶点⽤⼀维数组存储，图中每个顶点Vi的所有领接点构成⼀个线性表。

备注：其他存储⽅式有⼗字链表（适合有向图），领接多重表（⽅便删除）。

3、图的遍历

深度优先遍历：在没有碰到重复顶点的情况下，分叉路⼝始终是向右⼿边⾛，每路过⼀个顶点就做⼀个记号。

⼴度优先遍历：以某个顶点开始先访问其所有连接顶点。

4、拓展知识

最⼩⽣成树（图中没有环路）

普⾥姆（Prim）算法：每次顶点连接权值最⼩边，若⼀个顶点与多个顶点连接，考虑选择权值最⼩的边。适合稠密图。

克鲁斯卡尔算法：将图中边按照权值从⼩到⼤排列，然后从最⼩的边开始，如果该边并⼊不构成回路的话，则将该边并⼊当前⽣成树，直到所有的边都检测完为⽌。适合稀疏图。

最短路径

⽹图：边上权值之和最少的路径。

⾮⽹图：两点之间经过边数最少的路径。

迪杰斯特拉算法：⼀步步求出⼀个顶点到所以顶点之间的最短路径。O(n^2)

佛洛依德算法：求出所有顶点到所有顶点的最短路径。O(n^3)

拓扑排序

⽆环图DAG（⽆环有向图）

AOW ⽹不存在回路

拓扑序列：设G(V,E)是⼀个具有n个结点的有向图，V中所有顶点序列满⾜若从顶点Vi-Vj有⼀条路径，则在顶点序列中Vi必在Vj之前。称这样的顶点序列为⼀个拓扑序列。

拓扑排序：对⼀个有向图构造拓扑序列的过程。

关键路径

AOE带权有向图，顶点为事件，边权值表⽰活动持续时间。

关键路径：事件完成时间最长的路径。

五、查找

1、普通查找⽅法

顺序查找、插值查找、斐波那契查找（黄⾦⽐例查找）、线性索引查找（稠密查找、分块查找、倒排查找）。

重点

⼆叉排序树：左⼦树上的值均⼩于它的根结点值，右⼦树上的值均⼤于根结点的值。

平衡⼆叉树：具有⼆叉排序树性质的同时，任意⼦树的左右⼦树的层数差值最多为1。

2、其他查找⽅法

B树：多路查找树的每个结点都具有两个孩⼦或多个孩⼦，所有叶⼦结点都在同⼀层次。

注意：插⼊需拆解应从⼩往上拆，先插⼊上⼀层，再在下⼀层分裂。

平衡多路查找树

1、把结点最⼤的孩⼦数⽬称为B树的阶；

2、根结点不是叶节点时，⾄少有两个⼦树；

3、⾮根结点的分⽀结点都有K-1个元素，K-1个孩⼦，K⼤于等于m+1向下取整，⼩于等于m；

散列表（Hash表）

在记录的存储位置和它的关键字之间建⽴⼀个确定的对应关系F，使得每个关键字key对应⼀个存储位置F(key)，存储在⼀块连续的存储空间。

F：Hash函数，经典构造⽅法：除留余数法。

解决冲突

开放定址法：F(key)=F(key)+di，修改di值；

再hash法：再⼀次使⽤hash函数；

链地址法：数组存放地址，链表存放在此地址的关键字。

公共溢出法：开辟新的表格存放溢出的关键字。

六、排序

排序：线性表的⼀种操作。

冒泡排序：两两相邻的关键字⽐较，反序则交换位置。时间：O(n^2) ，空间O(1)，稳定

快速排序：选取基准点，⼀边放⼩于基准点的数，另⼀边放⼤于基准点的数；再对左右区间重复该步骤，直到各区间只有⼀个数最初基准点左右两边的数进⾏交换。时间空间O(nlogn)-O(n^2)， 不稳定

选择排序：通过n-i次⽐较，从n-i+1个记录中选出关键字最⼩的记录，并和第i个记录交换，直⾄序列有序。O(n^2) O(1) 稳定

堆排序：①待排序列构造⼤⼩根堆；②将根节点与末尾元素交换；③将剩余n-1个序列重新构造⼀个堆；④反复执⾏直⾄序列有序。

O(nlogn) O(1) 不稳定

插⼊排序：讲⼀个记录插⼊到已经拍好的序的有序表中。O(n^2) O(1) 稳定

希尔排序：分成两组进⾏插⼊排序。O(n^2) O(1) 不稳定

归并排序，先左边排序，后右边排序，合并。O(nlogn) O(n) 稳定