关于KMP算法（多图详解）_kmp算法时间复杂度为什么是m+n

为什么用KMP算法

KMP是一种高效的模式匹配的一种算法
模式匹配，说直白就是找寻子字符串在主字符串的位置

（其实KMP这三个字没啥意义，这算法是3个人研究出来的，取3人名字首字母也就是KMP）

暴利匹配算法

与KMP相对立的一个算法就是暴力匹配算法，逐个字符一一对比
形象地理解就是
可以看到在这个简短的例子中，当主字符串（以下简称主串）对比到3时，与子字符串（简称子串）不同
那么就要折返到开始位置的下一位
如果主串再长点，对比的字符再离奇点（比如刚好和子串最后一位不同步）那么主串折返的次数会更多

假设主串长度为m，子串长度为n，那么主串要比对m-n+1个字符（除了最后那个长度比子串还短的都要比对）
最晦气的情况是刚好每次都是子串的最后一位不同步，那么每个主串字符都要比对n次
最坏情况的时间复杂度将是O（m-n+1）n 即 O（mn-n²+n），实际情况是m远大于n，所以可以简写为O（mn）

KMP算法思路

暴力匹配算法最大的弊端就是要折返匹配

比如在上图这个例子中，明显看到在比对第4位的时候出现的不同步
暴力匹配就会重新从主串第2位开始与子串匹配
显然当前的前3位是同步的，如果错开一位必然不同步，造成浪费时间
但是
已经匹配前3位还是有信息可以用的，当前计算机已经知道了主串前3位的序列，我们直观感受的话，下一次匹配应该是把主串的第3位和子串的第1位开始匹配

而不必再去和主串第2位比，这个直观感觉的什么原理呢？
对于已经匹配的子串序列，可以取共同元素的下一位作为下一次匹配的起点
看不懂也没关系，请看下面分析

研究子串

（以下示例图，第一个数列是主串截取）
如果是第5位不同步
我们能直观感受到，第4位和第1位是相同元素，可以作为下次匹配的起点

如果是第4位不同步
可以看到，第3位于第1位有相同元素，可以作为下次匹配的起点

如果是第3位不同步，那没办法了，前两位都不同，逐一比较了

如果是第2位不同步，第一位相同没啥用……同上图

如果是第1位不同步，那肯定是没什么好折腾了，老老实实下一个数字比较吧

回顾刚才的思路，可以发现我们是在找寻当前位置之前的字符的共同点
再精确点，当前比对位置是j，前1~j-1个字符组成字符串s
找寻s的最长相等前后缀以实现对已经匹配好的字符的复用

前缀：包含第一个字符但不包含最后一个
后缀：包含最后一个字符但不包含第一个

比如这个子串
当j=6时，1~5组成的字符串是abaab
最长相等前后缀就是ab，当第6位不同步时，直接跳转到第3位

这样，主串就不必返回到之前的状态，始终都是子串在自行调节对比位序

那么研究一下这个方案：找寻当前比对字符之前的字符，的最长相等前后缀

可以看到下一个比对位置是最长相等前后缀的长度+1
当比对第一个字符就不同步时，那么主串要向后移一格，我们就记为0，以示意主串后移
那么就得到这么一个数组

这就是KMP算法中的next数组，用于指示如果当前匹配失败，下次子串比对位置

流程图

最后一个判断语句，如果是no，那么意味着是i超出了主串长度
也就是这种情况
主串后面无元素了，依然是匹配失败的情况

进一步优化

观察这个子串及其next数组

可以看到前4位都相同且为a
当第4位不匹配时

j应该等于next[4]即3

显然子串的4号位是a，与主串的4号位不同步，那么位于子串3号位的a也必然不同步
同理，当j=2时，也不同步，j继续指向1
那为什么不直接跳转到第一位呢？
所以，在构建好next数组后，还可以进一步优化

对于子串中的相同元素，取位序小的next值作为当前next值
以减少这种不必要的比对
那么新的next数组nextval应该变为

时间复杂度

主串长度为m，子串长度为n
则
暴利匹配算法时间复杂度是O（mn）
KMP算法时间复杂度为O（m+n），因为主串没有回退，子串也是近似没有回退
但在一般情况下暴力匹配算法执行时间也近似为O（m+n）毕竟我们寻找的子串大概率是一组无序的字符组成的，而不是有很多重复。
这也是为什么暴力匹配算法沿用至今。其实是懒

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