固定除数整除的 FPGA 实现_固定除数除法

除法在 FPGA 开发与应用中是一种重要的运算，按照被除数和除数是否为定值，分三种情况：（1）被除数固定，除数变化；（2）除数固定，被除数变化；（3）被除数和除数都不固定。本文讨论如何用 FPGA 实现除数固定，被除数变化的整数除法。

目录

1 问题分类

2 实现方法

2.1 比较器加编码器法

2.2 乘积右移截位法

3 仿真验证

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1 问题分类

        由于除数是固定的，先根据除数本身的性质对问题进行分类。

        对于 2 的指数次幂的除数，例如 2，4，8...，用逻辑右移就可以很方便地实现除法运算，右移 1 位等价于除以 2，右移 2 位等价于除以 4，...，右移 N 位等价于除以 2 的 N 次幂。

        对于非 2 的指数次幂的除数，上述方法就不适用了，下面讨论两种实现方法。

2 实现方法

2.1 比较器加编码器法

        这种方法的原理是，根据被除数与除数的关系，划分若干区间，并对这些区间进行编码。把除法运算转换为，判断被除数落在哪个区间，然后输出区间的编码。

        例如，在处理 1920x1080p 视频画面时，假如需要计算 video_col ÷ 480，可以把 video_col 的取值范围划分为 [0,479], [480,959], [960,1439] 和 [1440,1919] 四个区间，并将这四个区间依次编码为 00, 01, 10, 11。

        以下是用 VHDL 语言实现 video_col ÷ 480 的代码：

process(video_col)
begin
   if video_col < 480 then
      q <= "00";
   elsif video_col < 960 then
      q <= "01";
   elsif video_col < 1440 then
      q <= "10";
   else
      q <= "11";
   end if;
end process;

        这种方法的优点是易于理解，容易修改；缺点是对于数值小的除数，需要编码的区间数量较多，这会消耗大量 LUT 资源用于数值比较。

2.2 乘积右移截位法

        对于除数较小的情况，第一种方法可能出现很多选择分支。为了节约 LUT 资源，可以采用第二种方法，即被除数先乘以一个固定的数，然后将结果进行逻辑右移，截掉低位部分。

        如果用 x, y, z, a 分别表示被除数，除数，商和余数，它们满足

改写成

令  ，有

        容易知道，n 的取值范围相对 m 较小，因此在寻找满足要求的 m 和 n 时，可以先给定 n，再寻找 m 的最优值。 

        令

 

其中 ，于是，m 的最优值由以下整数规划问题给出：

m 有两个可能的最优解，分别是

        有了 m 和 n 的关系之后，只要在一定范围内遍历 n 的取值，再代入并验证  是否成立即可。

3 仿真验证

        用乘积右移截位法实现求 x 整除 5 的运算电路，x 的位宽取 8 bit。在 [3,12] 的范围内遍历 n，计算发现当 n = 10, m = 205 时，误差已经为 0。

        取 m = 205, n = 10，VHDL 代码如下：

library ieee;
use ieee.std_logic_1164.all;
use ieee.std_logic_arith.all;
use ieee.std_logic_unsigned.all;
 
entity top is 
   generic(
      M : integer := 205;
      N : integer := 10;
      W : integer := 6
   );
   port(
      ina : in std_logic_vector;
      y   : out std_logic_vector
   );
end entity;
architecture behav of top is 
   -- 常量与信号定义
   constant Y_HIGH: integer := W + N - 1;
   constant D_WIDTH: integer := ina'LENGTH + 32;
   signal Prod: std_logic_vector(D_WIDTH-1 downto 0);
   signal A_buf: bit_vector(D_WIDTH-1 downto 0) := (others => '0');
   signal M_buf: std_logic_vector(31 downto 0);
begin
   -- 信号初始化
   A_buf(ina'HIGH downto 0) <= to_bitvector(ina);
   M_buf <= conv_std_logic_vector(M,32);
 
   -- 循环移位乘法器
   process(A_buf,M_buf)
      variable tmp: std_logic_vector(D_WIDTH-1 downto 0);
   begin
      tmp := (others => '0');
      for i in M_buf'REVERSE_RANGE loop
         if M_buf(i) = '1' then
            tmp := tmp + to_stdlogicvector(A_buf SLL i);
         end if;
      end loop;
      Prod <= tmp;
   end process;
   -- 截掉结果的低位部分
   y <= Prod(Y_HIGH downto N);
end architecture;

        仿真激励代码如下：

library ieee;
use ieee.std_logic_1164.all;
use ieee.std_logic_arith.all;
use ieee.std_logic_unsigned.all;
 
entity top_tb is
end entity;
architecture behav of top_tb is
   signal sys_rst: std_logic := '1';
   signal sys_clk: std_logic := '1';
   signal A: std_logic_vector(7 downto 0);
   signal A_div5: std_logic_vector(5 downto 0);
begin
   -- Todo
   sys_rst <= '1', '0' after 100 ns;
   sys_clk <= not sys_clk after 2500 ps;
 
   process(sys_rst,sys_clk)
   begin
      if sys_rst = '1' then
         A <= (others => '0');
      elsif rising_edge(sys_clk) then
         if A = 255 then
            A <= A;
         else
            A <= A + 1;
         end if;
      end if;
   end process;
 
   top_inst: entity work.top
   port map(
      ina => A,
      y   => A_div5
   );
end architecture;

        仿真波形如下：