K-近邻算法介绍与python代码实现计算两个矩阵之间的欧式距离_两个矩阵之间的距离计算

KNN介绍

简介

• k近邻法(k-nearest neighbors)是由Cover和Hart于1968年提出的，它是懒惰学习(lazy learning)的著名代表。
• k近邻算法是一种基本分类和回归方法。本篇作为学习笔记，暂时只讨论分类问题的k近邻法。
• 距离衡量的标准有很多，常见的有：Lp距离、切比雪夫距离、马氏距离、巴氏距离、余弦值等。

算法步骤概述

1. 给定一个测试样本
2. 计算测试样本中每个点到训练样本中每个点的距离
3. 取离测试样本最近的k个训练样本
4. 选出在这k个样本中出现最多的类别，就是预测的结果

根据上面的流程简要做个概述：

1. 中心点的绿色为测试样本，一共有两种类型，分为红色的三角形和蓝色的正方形
2. 计算绿色到其他点的距离
3. 选取距离测试样本最近的K个点。当K=3时，红色三角形数量多，分类结果为红色三角形。当K=5时，蓝色正方形数量多，分类结果为蓝色正方形。

欧式距离计算概述

双重循环

import numpy as np
def cal_l2_distance_two_loops(test_X, train_X):
    """
    计算L2距离，两层循环
    :return:
    """
    num_test = test_X.shape[0]
    num_train = train_X.shape[0]
    dists = np.zeros((num_test, num_train))
    for i in range(num_test):
        for j in range(num_train):
            test_line = test_X[i]
            train_line = train_X[j]
            temp = np.subtract(test_line, train_line)
            temp = np.power(temp, 2)
            dists[i][j] = np.sqrt(temp.sum())
    return dists
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一层循环

import numpy as np
def cal_l2_distances_one_loop(test_X, train_X):
    """
    计算L2距离，一层循环
    :return:
    """
    num_test = test_X.shape[0]
    num_train = train_X.shape[0]
    dists = np.zeros((num_test, num_train))
    for i in range(num_test):
        dists[i] = np.sqrt(np.sum(np.square(train_X - test_X[i]), axis=1)).T
    return dists
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通过矩阵计算

运算效率最高的算法是将训练集和测试集都使用矩阵表示，然后使用矩阵运算的方法替代之前的循环操作。但此操作需要我们对矩阵的运算规则非常熟悉。接下来着重记录如何计算两个矩阵之间的欧式距离。

记录测试集矩阵P的大小为MD，训练集矩阵C的大小为ND（测试集中共有M个点，每个点为D维特征向量。训练集中共有N个点，每个点为D维特征向量）

记$P_i$是P的第i行，记$P_i$是C的第j行
$$P_i=[P_{i1}{P}_{i2}\cdots P_{iD}]$$ $$C_j=[C_{j1}{C}_{j2}\cdots C_{jD}]$$

首先计算$P_i$和$C_j$之间的距离dist(i,j)
$$\begin{gathered} d(P_i,C_j)=\sqrt{(P_{i1}-C_{j1}{)}^2+(P_{i2}-C_{j2}{)}^2+\cdots +(P_{iD}-C_{jD}{)}^2} \\ =\sqrt{(P_{i1}^2+P_{i2}^2+\cdots +P_{iD}^2)+(C_{j1}^2+C_{j2}^2+\cdots +C_{jD}^2)-2\times (P_{i1}{C}_{j1}+P_{i2}{C}_{j2}+\cdots +P_{iD}{C}_{iD})} \\ =\sqrt{{\Vert P_i\Vert }^2+{\Vert C_j\Vert }^2-2\times P_i{C}_j^T} \end{gathered}$$

我们可以推广到距离矩阵的第i行的计算公式
$$\begin{gathered} dist[i]=\sqrt{({\Vert P_i\Vert }^2{\Vert P_i\Vert }^2\cdots {\Vert P_i\Vert }^2)+({\Vert C_1\Vert }^2{\Vert C_2\Vert }^2\cdots {\Vert C_N\Vert }^2)-2\times P_i(C_1^T{C}_2^T\cdots C_N^T)} \\ =\sqrt{({\Vert P_i\Vert }^2{\Vert P_i\Vert }^2\cdots {\Vert P_i\Vert }^2)+({\Vert C_1\Vert }^2{\Vert C_2\Vert }^2\cdots {\Vert C_N\Vert }^2)-2\times P_i{C}^T} \end{gathered}$$
注意：这里公式中的第二项为什么是${\Vert C_j\Vert }^2$呢,因为算的是i行的距离。即测试样本的第i行到训练样本中每一个点的距离。如果对这个不是很清楚的同学，可以看看下面参看文章中的第三个链接。

继续将公式推广为整个距离矩阵
d i s t = ( ∥ P 1 ∥ 2 ∥ P 1 ∥ 2 ⋯ ∥ P 1 ∥ 2 ∥ P 2 ∥ 2 ∥ P 2 ∥ 2 ⋯ ∥ P 2 ∥ 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ∥ P M ∥ 2 ∥ P M ∥ 2 ⋯ ∥ P M ∥ 2 ) + ( ∥ C 1 ∥ 2 ∥ C 2 ∥ 2 ⋯ ∥ C N ∥ 2 ∥ C 1 ∥ 2 ∥ C 2 ∥ 2 ⋯ ∥ C N ∥ 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ∥ C 1 ∥ 2 ∥ C 2 ∥ 2 ⋯ ∥ C N ∥ 2 ) − 2 × P C T dist=\sqrt{

$$\begin{pmatrix}\left\|P_1\right\|^2 & \left\|P_1\right\|^2 & \cdots & \left\|P_1\right\|^2\\\left\|P_2\right\|^2 & \left\|P_2\right\|^2 & \cdots & \left\|P_2\right\|^2\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\left\|P_M\right\|^2 & \left\|P_M\right\|^2 & \cdots & \left\|P_M\right\|^2 \end{pmatrix}$$ + $$\begin{pmatrix}\left\|C_1\right\|^2 & \left\|C_2\right\|^2 & \cdots & \left\|C_N\right\|^2\\\left\|C_1\right\|^2 & \left\|C_2\right\|^2 & \cdots & \left\|C_N\right\|^2\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\left\|C_1\right\|^2 & \left\|C_2\right\|^2 & \cdots & \left\|C_N\right\|^2 \end{pmatrix}$$ -2\times PC^T} dist=⎝⎜⎜⎜⎛​∥P1​∥2∥P2​∥2⋮∥PM​∥2​∥P1​∥2∥P2​∥2⋮∥PM​∥2​⋯⋯⋱⋯​∥P1​∥2∥P2​∥2⋮∥PM​∥2​⎠⎟⎟⎟⎞​+⎝⎜⎜⎜⎛​∥C1​∥2∥C1​∥2⋮∥C1​∥2​∥C2​∥2∥C2​∥2⋮∥C2​∥2​⋯⋯⋱⋯​∥CN​∥2∥CN​∥2⋮∥CN​∥2​⎠⎟⎟⎟⎞​−2×PCT ​
通过矩阵计算两个之前的欧式距离的代码，参看博客中的代码好像都有问题，下面是我根据下面的公式，自己写的一个。

import numpy as np
def cal_l2_distances_no_loops(test_X, train_X):
	"""
	计算L2距离，通过矩阵运算
	:return:
	"""
	
	first = np.sum(np.square(test_X), axis=1)
	second = np.sum(np.square(train_X), axis=1).T
	# 注意这里的np.dot(test_X, train_X.T)中的test_X, train_X位置是和公式中的顺序保持一致的
	three = -2 * np.dot(test_X, train_X.T)
	
	dists = np.sqrt(first + second + three)
	return dists
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代码合在一起

import numpy as np


class MatrixDistance(object):
    """计算两个矩阵之的L2距离(欧式距离)"""

    def __init__(self, train_X, test_X):
        self.train_X = train_X
        self.test_X = test_X

    def cal_l2_distance_two_loops(self):
        """
        计算L2距离，两层循环
        :return:
        """
        num_test = self.test_X.shape[0]
        num_train = self.train_X.shape[0]
        dists = np.zeros((num_test, num_train))
        for i in range(num_test):
            for j in range(num_train):
                test_line = self.test_X[i]
                train_line = self.train_X[j]
                temp = np.subtract(test_line, train_line)
                temp = np.power(temp, 2)
                dists[i][j] = np.sqrt(temp.sum())
        return dists

    def cal_l2_distances_one_loop(self):
        """
        计算L2距离，一层循环
        :return:
        """
        num_test = self.test_X.shape[0]
        num_train = self.train_X.shape[0]
        dists = np.zeros((num_test, num_train))
        for i in range(num_test):
            dists[i] = np.sqrt(np.sum(np.square(self.train_X - self.test_X[i]), axis=1)).T
        return dists

    def cal_l2_distances_no_loops(self):
        """
        计算L2距离，通过矩阵运算
        :return:
        """

        first = np.sum(np.square(self.test_X), axis=1)
        second = np.sum(np.square(self.train_X), axis=1).T
        # 注意这里的np.dot(self.test_X, self.train_X.T)中的test_X, train_X位置是和前面的顺序保持一致的
        three = -2 * np.dot(self.test_X, self.train_X.T)

        dists = np.sqrt(first + second + three)
        return dists


if __name__ == '__main__':
    train_x = np.matrix(np.arange(12).reshape(3, 4))
    test_x = np.matrix(np.arange(2, 14).reshape(3, 4))

    d = MatrixDistance(train_x, test_x)
    print(d.cal_l2_distance_two_loops())
    print(d.cal_l2_distances_one_loop())
    print(d.cal_l2_distances_no_loops())

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参考文章：
计算两个矩阵之间的欧式距离
k近邻算法
K-近邻算法介绍与代码实现