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23 | 二叉树基础(上):什么样的二叉树适合用数组来存储?
“树”这种数据结构每个元素叫作“节点”;用来连线相邻节点之间的关系,叫作“父子关系”。
关于“树”,还有三个比较相似的概念:高度(Height)、深度(Depth)、层(Level)。它们的定义是这样的:
“高度”,其实就是从下往上度量,树的高度也是一样,从最底层开始计数,并且计数的起点是 0。
“深度”这个概念是从上往下度量的,树的深度也是类似的,从根结点开始度量,并且计数起点也是 0。
“层数”跟深度的计算类似,不过,计数起点是 1,也就是说根节点的位于第 1 层。
二叉树(Binary Tree)
二叉树,每个节点最多有两个子节点,分别是左子节点和右子节点。不过,二叉树并不要求每个节点都有两个子节点,有的节点只有左子节点,有的节点只有右子节点。
叶子节点全都在最底层,除了叶子节点之外,每个节点都有左右两个子节点,这种二叉树就叫作满二叉树。
叶子节点都在最底下两层,最后一层的叶子节点都靠左排列,并且除了最后一层,其他层的节点个数都要达到最大,这种二叉树叫作完全二叉树。
如何表示(或者存储)一棵二叉树?
想要存储一棵二叉树,两种方法,一种是基于指针或者引用的二叉链式存储法,一种是基于数组的顺序存储法。
链式存储法。每个节点有三个字段,其中一个存储数据,另外两个是指向左右子节点的指针。只要拎住根节点,就可以通过左右子节点的指针,把整棵树都串起来。大部分二叉树代码都是通过这种结构来实现的。
基于数组的顺序存储法。把根节点存储在下标 i = 1 的位置,那左子节点存储在下标 2 * i = 2 的位置,右子节点存储在 2 * i + 1 = 3 的位置。以此类推。
如果节点 X 存储在数组中下标为 i 的位置,下标为 2 * i 的位置存储的就是左子节点,下标为 2 * i + 1 的位置存储的就是右子节点。反过来,下标为 i/2 的位置存储就是它的父节点。通过这种方式,我们只要知道根节点存储的位置(一般情况下,为了方便计算子节点,根节点会存储在下标为 1 的位置),这样就可以通过下标计算,把整棵树都串起来。
不过,刚刚举的例子是一棵完全二叉树,所以仅仅“浪费”了一个下标为 0 的存储位置。如果是非完全二叉树,其实会浪费比较多的数组存储空间。
如果某棵二叉树是一棵完全二叉树,那用数组存储是最节省内存的一种方式。因为数组的存储方式并不需要像链式存储法那样,要存储额外的左右子节点的指针。这也是为什么完全二叉树会单独拎出来的原因,也是为什么完全二叉树要求最后一层的子节点都靠左的原因。
堆其实就是一种完全二叉树,最常用的存储方式就是数组。
二叉树的遍历
如何将所有节点都遍历打印出来呢?经典的方法有三种,前序遍历、中序遍历和后序遍历。其中,前、中、后序,表示的是节点与它的左右子树节点遍历打印的先后顺序。
前序遍历是指,对于树中的任意节点来说,先打印这个节点,然后再打印它的左子树,最后打印它的右子树。
中序遍历是指,对于树中的任意节点来说,先打印它的左子树,然后再打印它本身,最后打印它的右子树。
后序遍历是指,对于树中的任意节点来说,先打印它的左子树,然后再打印它的右子树,最后打印这个节点本身。
实际上,二叉树的前、中、后序遍历就是一个递归的过程。比如,前序遍历,其实就是先打印根节点,然后再递归地打印左子树,最后递归地打印右子树。
- 前序遍历的递推公式:
- preOrder(r) = print r->preOrder(r->left)->preOrder(r->right)
- 中序遍历的递推公式:
- inOrder(r) = inOrder(r->left)->print r->inOrder(r->right)
- 后序遍历的递推公式:
- postOrder(r) = postOrder(r->left)->postOrder(r->right)->print r
- void preOrder(Node* root) {
- if (root == null) return;
- print root // 此处为伪代码,表示打印 root 节点
- preOrder(root->left);
- preOrder(root->right);
- }
- void inOrder(Node* root) {
- if (root == null) return;
- inOrder(root->left);
- print root // 此处为伪代码,表示打印 root 节点
- inOrder(root->right);
- }
- void postOrder(Node* root) {
- if (root == null) return;
- postOrder(root->left);
- postOrder(root->right);
- print root // 此处为伪代码,表示打印 root 节点
- }
-
从前面画的前、中、后序遍历的顺序图,可以看出来,每个节点最多会被访问两次,所以遍历操作的时间复杂度,跟节点的个数 n 成正比,也就是说二叉树遍历的时间复杂度是 O(n)。
二叉树的每个节点最多有两个子节点,分别是左子节点和右子节点。二叉树中,有两种比较特殊的树,分别是满二叉树和完全二叉树。满二叉树又是完全二叉树的一种特殊情况。
二叉树既可以用链式存储,也可以用数组顺序存储。数组顺序存储的方式比较适合完全二叉树,其他类型的二叉树用数组存储会比较浪费存储空间。除此之外,二叉树里非常重要的操作就是前、中、后序遍历操作,遍历的时间复杂度是 O(n)。
24 | 二叉树基础(下):有了如此高效的散列表,为什么还需要二叉树?
二叉查找树最大的特点就是,支持动态数据集合的快速插入、删除、查找操作。散列表也是支持这些操作的,并且散列表的这些操作比二叉查找树更高效,时间复杂度是 O(1)。既然有了这么高效的散列表,使用二叉树的地方是不是都可以替换成散列表呢?有没有哪些地方是散列表做不了,必须要用二叉树来做的呢?
二叉查找树(Binary Search Tree)
二叉查找树是二叉树中最常用的一种类型,也叫二叉搜索树。二叉查找树是为了实现快速查找而生的。不过,它不仅仅支持快速查找一个数据,还支持快速插入、删除一个数据。
这些都依赖于二叉查找树的特殊结构。二叉查找树要求,在树中的任意一个节点,其左子树中的每个节点的值,都要小于这个节点的值,而右子树节点的值都大于这个节点的值。
1. 二叉查找树的查找操作
首先,取根节点,如果它等于我们要查找的数据,那就返回。如果要查找的数据比根节点的值小,那就在左子树中递归查找;如果要查找的数据比根节点的值大,那就在右子树中递归查找。
- public class BinarySearchTree {
- private Node tree;
- public Node find(int data) {
- Node p = tree;
- while (p != null) {
- if (data < p.data) p = p.left;
- else if (data > p.data) p = p.right;
- else return p;
- }
- return null;
- }
- public static class Node {
- private int data;
- private Node left;
- private Node right;
- public Node(int data) {
- this.data = data;
- }
- }
- }
2. 二叉查找树的插入操作
二叉查找树的插入过程有点类似查找操作。新插入的数据一般都是在叶子节点上,所以只需要从根节点开始,依次比较要插入的数据和节点的大小关系。
如果要插入的数据比节点的数据大,并且节点的右子树为空,就将新数据直接插到右子节点的位置;如果不为空,就再递归遍历右子树,查找插入位置。同理,如果要插入的数据比节点数值小,并且节点的左子树为空,就将新数据插入到左子节点的位置;如果不为空,就再递归遍历左子树,查找插入位置。
- public void insert(int data) {
- if (tree == null) {
- tree = new Node(data);
- return;
- }
- Node p = tree;
- while (p != null) {
- if (data > p.data) {
- if (p.right == null) {
- p.right = new Node(data);
- return;
- }
- p = p.right;
- } else { // data < p.data
- if (p.left == null) {
- p.left = new Node(data);
- return;
- }
- p = p.left;
- }
- }
- }
-
3. 二叉查找树的删除操作
针对要删除节点的子节点个数的不同,我们需要分三种情况来处理。
第一种情况是,如果要删除的节点没有子节点,我们只需要直接将父节点中,指向要删除节点的指针置为 null。
第二种情况是,如果要删除的节点只有一个子节点(只有左子节点或者右子节点),我们只需要更新父节点中,指向要删除节点的指针,让它指向要删除节点的子节点就可以了。
第三种情况是,如果要删除的节点有两个子节点,这就比较复杂了。需要找到这个节点的右子树中的最小节点,把它替换到要删除的节点上。然后再删除掉这个最小节点,因为最小节点肯定没有左子节点(如果有左子结点,那就不是最小节点了),所以,我们可以应用上面两条规则来删除这个最小节点。
- public void delete(int data) {
- Node p = tree; // p 指向要删除的节点,初始化指向根节点
- Node pp = null; // pp 记录的是 p 的父节点
- while (p != null && p.data != data) { //寻找目标
- pp = p;
- if (data > p.data) p = p.right;
- else p = p.left;
- }
- if (p == null) return; // 没有找到
- // 要删除的节点有两个子节点
- if (p.left != null && p.right != null) { // 查找右子树中最小节点
- Node minP = p.right;
- Node minPP = p; // minPP 表示 minP 的父节点
- while (minP.left != null) {
- minPP = minP;
- minP = minP.left;
- }
- p.data = minP.data; // 将 minP 的数据替换到 p 中
- p = minP; // 下面就变成了删除 minP 了
- pp = minPP;
- }
- // 删除节点是叶子节点或者仅有一个子节点
- Node child; // p 的子节点
- if (p.left != null) child = p.left;
- else if (p.right != null) child = p.right;
- else child = null;
- if (pp == null) tree = child; // 删除的是根节点
- else if (pp.left == p) pp.left = child;
- else pp.right = child;
- }
-
关于二叉查找树的删除操作,还有个非常简单、取巧的方法,就是单纯将要删除的节点标记为“已删除”,但是并不真正从树中将这个节点去掉。这样原本删除的节点还需要存储在内存中,比较浪费内存空间,但是删除操作就变得简单了很多。而且,这种处理方法也并没有增加插入、查找操作代码实现的难度。
4. 二叉查找树的其他操作
除了插入、删除、查找操作之外,二叉查找树中还可以支持快速地查找最大节点和最小节点、前驱节点和后继节点。
二叉查找树除了支持上面几个操作之外,还有一个重要的特性,就是中序遍历二叉查找树,可以输出有序的数据序列,时间复杂度是 O(n),非常高效。因此,二叉查找树也叫作二叉排序树。
支持重复数据的二叉查找树
很多时候,在实际的软件开发中,在二叉查找树中存储的,是一个包含很多字段的对象。我们利用对象的某个字段作为键值(key)来构建二叉查找树。对象中的其他字段叫作卫星数据。
如果存储的两个对象键值相同,这种情况该怎么处理呢?有两种解决方法。
第一种方法比较容易。二叉查找树中每一个节点不仅会存储一个数据,因此我们通过链表和支持动态扩容的数组等数据结构,把值相同的数据都存储在同一个节点上。
第二种方法比较不好理解,不过更加优雅。
每个节点仍然只存储一个数据。在查找插入位置的过程中,如果碰到一个节点的值,与要插入数据的值相同,我们就将这个要插入的数据放到这个节点的右子树,也就是说,把这个新插入的数据当作大于这个节点的值来处理。当要查找数据的时候,遇到值相同的节点,我们并不停止查找操作,而是继续在右子树中查找,直到遇到叶子节点,才停止。这样就可以把键值等于要查找值的所有节点都找出来。对于删除操作,我们也需要先查找到每个要删除的节点,然后再按前面讲的删除操作的方法,依次删除。
二叉查找树的时间复杂度分析
不管操作是插入、删除还是查找,时间复杂度其实都跟树的高度成正比,也就是 O(height)。既然这样,现在问题就转变成另外一个了,也就是,如何求一棵包含 n 个节点的完全二叉树的高度?
树的高度就等于最大层数减一,为了方便计算,转换成层来表示。包含 n 个节点的完全二叉树中,第一层包含 1 个节点,第二层包含 2 个节点,第三层包含 4 个节点,依次类推,下面一层节点个数是上一层的 2 倍,第 K 层包含的节点个数就是 2^(K-1)。
不过,对于完全二叉树来说,最后一层的节点个数有点儿不遵守上面的规律了。它包含的节点个数在 1 个到 2^(L-1) 个之间(我们假设最大层数是 L)。如果我们把每一层的节点个数加起来就是总的节点个数 n。也就是说,如果节点的个数是 n,那么 n 满足这样一个关系:
- n >= 1+2+4+8+...+2^(L-2)+1
- n <= 1+2+4+8+...+2^(L-2)+2^(L-1)
可以计算出,L 的范围是 [log2(n+1), log2n +1]。完全二叉树的层数小于等于 log2n +1,也就是说,完全二叉树的高度小于等于 log2n。
平衡二叉查找树的高度接近 logn,所以插入、删除、查找操作的时间复杂度也比较稳定,是 O(logn)。
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