Matlab图像处理系列——频率域图像增强之傅里叶级数和傅里叶变换

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本节目录

一、频率域滤波
二、傅里叶级数
2、傅里叶级数的复指数形式
三、傅里叶变换
1、一维连续傅里叶变换
2、一维离散傅里叶变换
3、二维连续傅里叶变换
4、二维离散傅里叶变换
四、幅度谱、相位谱和功率谱
五、傅里叶变换的实质——基的转换
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本节内容
一、频率域滤波
傅里叶变换提供了一种变换到频率域的收到，由于用傅里叶变换表示的函数特征，可以完全通过傅里叶逆变换进行重建，不丢失任何信息，故可以在频率域和空间域转换是不丢失任何信息。
二、傅里叶级数
傅里叶级数，任何周期函数只有满足一定条件，都可以用正弦函数和余弦函数构成无穷级数，以不同频率的正弦和余弦函数的加权和来表示。
对于有限定义的非周期函数，对其进行周期拓延，使其在整个扩展定义域上为周期函数，展开为傅里叶级数。
1、傅里叶级数的三角形式
周期为T的函数f(t)的三角形式傅里叶级数展开为：

上式中，ω0=2π/T，f=1/T表示函数f(x)的频率，ak和bk为傅里叶系数。
原始周期函数f(x)，可以由不同频率的正弦和余弦函数以不同的系数组合在一起。

傅里叶级数的前N项和是原函数f(t)在给定能量下的最佳逼近：

吉布斯现象，方波信号函数采用不同N值的逼近来说明，随着N的增大，逼近效果越来越好。

2、傅里叶级数的复指数形式
傅里叶级数还存在两种常用的表现形式，余弦形式和复指数形式。通过欧拉公式可以进行转换。
复指数傅里叶级数，也就是傅里叶级数的复指数形式：

上式中，级数和系数都可以用一个统一的公式计算。
三种形式之间的转换：

三、傅里叶变换
1、一维连续傅里叶变换
对于定义域为整个时间轴(-∞≤t≤∞)的非周期函数f(t)，无法通过周期拓延扩展为周期函数，需要采用傅里叶变换和反变换：

上式中左边为傅里叶变换，右边为傅里叶反变换，两种是傅里叶变化对，通过函数的傅里叶反变换进行重建。
2、一维离散傅里叶变换
一维函数f(x)，其中(x=0,1,2,……，M-1)的傅里叶变换的离散形式：

傅里叶反变换的离散形式：

3、二维连续傅里叶变换
二维连续函数，傅里叶变换及其反变换：

4、二维离散傅里叶变换
在数字图像处理中，二维离散函数的傅里叶变换(Discrete Fourier Transform,DFT)公式：

上式中变量x,y属于空间域，变量u,v属于频率域。
频域原点位置的傅里叶变换：

上式中f(x,y)表示各像素的灰度之和。若将系数1/MN放在正变化之前，则F(0,0)对应于原图像f(x,y)的平均灰度。F(0,0)也被称作频率谱的直流分量DC。
二维函数f(x,y)可以分解为不同频率的二维正弦(余弦)平面波的按比例叠加。

四、幅度谱、相位谱和功率谱
幅度谱：

其中幅度谱关于原点对称，即|F(-u,-v)|=|F(u,v)|。
相位谱：

幅度谱和相位谱，可以还原F(u,v)，即：

功率谱：

上式中Re(u,v)和Im(u,v)分别表示F(u,v)的实部和虚部。
幅度谱又称为频率谱，是图像增强中的关注点，频率域下的每一个点(u,v)的幅度|F(u,v)|，可以用来表示该频率的正弦(余弦)平面波在叠加中所占的比例，幅度谱直接反映了频率信息。
五、傅里叶变换的实质——基的转换
在三维欧氏向量中，向量v可以3个复数{v1,v2,v3}来定义，记作v=(v1,v2,v3)。
3个正交单位向量{e1,e2,e3}是该三维欧氏向量空间的基向量。
任何该空间中的向量均可以由这3个基向量的线性组合表示，即：
v=v1×e1+v2×e2+v3×e3。
两个向量的点积定义：

|v|表示向量v的模，|u|表示向量u的模,θ表示两个相邻的夹角。
如果两个向量的点积为0，则这两个向量互相正交，也就是夹角为90°。
一个向量在另一个向量方向上的投影或分量：

其中ev表示向量v单位化后的单位向量，模为1，方向与向量v相同。
任何一个该空间中的N×1向量均可以由N个基向量e1,e2,……en的线性组合表示。

N个单位向量之间满足两两正交的关系：