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图像拼接之转透视矩阵

作者：羊村懒王 | 2024-02-14 20:10:59

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透视矩阵

前言

在图像拼接领域中，透视矩阵起着至关重要的作用，网络上关于这一知识的介绍已经很多，本人在此稍加总结和归纳一下，也方便自己今后查找一些结论性的要点（别人的再怎么好，还是自己的看起来舒服：）），接下来，就让我们对透视矩阵做一番深入性的认识吧。

一、透视矩阵基础介绍

我们所说的透视矩阵实际上是一个3x3维的矩阵，图像经过它的变换后（即用图像像素矩阵乘以该透视矩阵），可以呈现出各种透视和仿射效果：

简单看一眼上图，基本可以从图中看出仿射变换和透视变换的区别：仿射变换可以把图像放大、缩小、旋转、或者是变成平行四边形，而透视变换除了获得仿射变换的这些效果之外，还能将图片变成梯形。

二、透视矩阵

稍微了解了透视矩阵的用途之后，我们来看一下透视矩阵的真正面目吧，它的一般表达形式为：

只是我们在计算完透视矩阵之后都会把H矩阵的所有元素都除以a₃₃，于是，我们最后得到的H矩阵是这样的：

——式2.1

获得了透视矩阵之后，就可以进行图像的变换了：

——式2.2

其中，u,v分别为当前图片的横坐标和纵坐标，变换后的图像坐标是x’/z’和y’/z’，即以下表达式中的x和y：

——式2.3

x和y分别为变换后图像的横坐标和纵坐标。

透视矩阵中的元素组合有着其特殊功能：a11、a12、a21、a22能控制图像的缩放、修剪以及旋转，a31、a32能控制图像的平移，a13、a23能将图像进行透视变换。

三、几种典型的仿射变换：

既然透视变换包括了仿射变换，在这里让我们先来了解一下基本的仿射变换吧：

1、平移变换（Translation）：

将图像的每一像素点平移（x+tx,y+ty），变换矩阵为

，变换效果如下：

2、缩放变换（scale）：

将整体图像横坐标放大（缩小）sx倍，纵坐标放大（缩小）sy倍，变换矩阵为

，变换效果如下：

3、剪切变换（shear）：

剪切变换并不是把图像进行裁剪，而是将方形变平行四边形的过程，其变换矩阵如下：

——纵向剪切——横向剪切 ——相当于横向剪切和纵向剪切的组合

变换效果如下：

4、旋转变换（rotation）

指的是将图像以其中心位置旋转某一角度，其变换矩阵为：

变换效果如下：

如果需要对图片进行一个简单的仿射变换，我们可以用几个不同功能的仿射矩阵进行组合：img*H₁*H₂*H₃（img代表的是图像矩阵，H₁是第一次变换的矩阵，H₂是第二次变换的矩阵，H₃是第三次变换的矩阵）

在此附一小段matlab代码，大家可以更改里面的透视矩阵H，看看经过各种透视变换后的图片效果：

[plain]view plaincopy 
    
 img = imread('lena.jpg');  
 H =[ 1     0     0;  
 0     1     0;  
 0     0     1];  
 tform = projective2d(H);  
 img_H = imwarp(img,tform);  
 imshow(img_H)  

下图列出了一些常用的转换矩阵（该图来源于网络，在此对矩阵做了转置处理）：

四、确定变换后图像的尺寸大小

我们写代码时，需要定义一个新图像变量以接收这个变换后的图像，那这个新图像的大小该如何确定呢？（第一次写这代码时发现拼接结果不对，调试半天后发现是定义这个新图像时没有赋予正确的尺寸）

其实很简单，我们只需要确定原图像四个顶点经过透视变换计算后的新坐标，即可确定新图像的大小。

按照这个思路，将原图四个顶点的坐标分别代入2.3式中的u和v变量，可以得到转换过后的顶点坐标：

由以上四个坐标可以获得变换后的图像尺寸：

五、根据对应坐标求透视矩阵

有时，我们已经找到了两图中对应的匹配点，需要通过这些匹配点求其相应的透视矩阵，这个问题的典型应用就是图像的无缝拼接，它首先需要分别找到两图中的特征点（sift、surf特征等等），然后在两图中匹配对应的特征点（即图1的特征点在图2中出现的位置），之后通过这些匹配特征点的坐标，计算出透视矩阵。

要计算透视矩阵，我们还是要回到公式2.3，透视矩阵所求的变量共有8个（a₃₃=1，其余都是要求的对象），根据方程组求解的基本知识，我们需要8个等式才能求出这8个变量，而取4对匹配点代入公式2.3正好可以组成8个等式，剩下的就是方程组求解的问题了。

在此顺带一提，如果你已经知道图片将要变换后的样子（比如要将图片变形放入某一固定模板），四个顶点正好可以作为四个匹配点代入上式，从而获得透视矩阵。

六、总结

本文避免了复杂的理论介绍，直接从应用角度出发，介绍了透视矩阵的功能以及应用，若有错误和不足，请批评指正。

七、参考

参考博文链接：http://www.cnblogs.com/ghj1976/p/5199086.html
http://blog.csdn.net/hudaliquan/article/details/52121832等

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