几何向量：基本概念_向量几何

前面写完三角函数分类博客，我们具备了基础的三角函数推导能力和知识，接下来就要讲向量与几何方面了。

但凡买一本讲解向量的书，一开始莫不是讲解笛卡尔的城市建设所采用的坐标系概念，因为几何的英文geometry就有“地理测量”的意思，据说几何学本来就是为了测量大地的。

1.下面我们来一些基础的定义：

ps：“定义”这个词语以后会经常出现，我们都是一些“叛逆”的小青年，就是反感“定义”、“规定”等词语，这些词语给我们的感觉就好像是，不想跟我们解释原因，又强加给我们的概念一样，这里我们缓和一些情绪，来看下“定义”的意思，其实“定义”有两种意思，第一种就是约定俗成，比如1+1=2，我们可以为认为他就是这样的，他本来就该这样，第二中就是，人为的设置一些“定义”，用来辅助理解接下来要表达的意思，比如“定义”盛菜的叫盘子，盛饭的叫碗，拿在手上夹菜的叫筷子，那么我们上餐馆吃饭，就能叫服务员拿多少碗筷而不会导致别人听不明白。

接下来我们就要来一堆的定义了：

矢：空间中的一个直线段，当规定其两个端点中一个为起始点，一个位终止点，这个线段就称为一个矢。

向量：具有同样长度和方向的失的集合称为一个向量，单独的一个矢为向量的一个代表。

ps：这里要特别注意了，向量是一系列矢的集合，我们来想象一下，平时我们描叙一个向量，在空间xyz坐标系中，画两个点，一个作为起始点P，一个作为终止点Q，连接起始点和终止点，就是一个向量了（假设记作A（a，b，c）），那么向量A（a，b，c）到处移动不改变朝向，也可以说平行移动，那么我们说向量A还是那个向量A，这就很奇怪了，如果到处平行移动，向量A是不变的，那么以后的图形学计算中，难道不会出现很多错误么。

如果我们想规定一个空间xyz坐标系中的“绝对向量”该怎么办呢，用“绝对坐标”起始点P(x1,y1,z1)和终止点Q(x2,y2,z2)来表示一个“绝对向量”A，这时候假如我们移动了向量A，那么起始点P和终止点Q也跟着平移了，且平移量相同，这时候我们可以反过来说P，Q都变成新的坐标点P1，Q1，所以向量A也变成了新的向量B，这样就很好的解决了“绝对向量”的问题，不过用两个“绝对坐标点”来表示有点“浪费资源”。

其实数学上有个齐次坐标的概念，我们想一下，假如我们把向量A(a,b,c)新增一个分量w来表示向量A在空间xyz坐标系中的“具体位置”，是不是一下就解决了这个问题？因为向量A的朝向，长度都确定了，就只有“位置”没确定，假如我们插入一个w去表示“位置”，这样A(a,b,c,w)不就可以表示一个空间中的“绝对向量”了么？而且只多占用“一个资源”。

齐次坐标后面将线性代数的时候会仔细讲到而且实际测试程序中的应用。

接下来实际看一下什么是向量，如下图：

可以看出，在二维和三维坐标系中，向量就是两个坐标点收尾相连。

2.向量相加

数学上我们规定向量相加，使用平行四边形法则，如下图：

我们将向量a，b做平行线组成平行四边形，那么对角线c就是a+b组成的向量，我们记作a+b= c

ps：这里连我都要挑刺了，为何a+b = c就要做平行四边形？是谁规定的？强制规定我们可不干！

这里就来解释他的来由：

为什么会有数学？其实数学是前人为了研究自然万物的物理现象而产生的工具，向量的加法我们可以通过一个现象来表现，

假如我们坐在一条船上，船正要通过一条河到达对岸，但是河水是很湍急的，那么在船的动力和河水的动力驱使下，船的行进路线会是怎么样的呢？

这里我们可以分解出两个向量来处理，向量A为船在理想状态下依靠自身动力行进的线路（就是河两岸的距离），向量B是船在行进时间中（t = A/船的速度），被水流横向推动的距离（t * 水流推船的速度），这样我们就能得到最终船行进的线路向量c，如下图：

这个应该很好理解，A就是两岸的距离，B就是行进过程中被水推的距离，那么C就是实际上船的运行线路了

向量的加法其实际代表的现实中的意义就在于此。

当然，我们可以用纯数学来论证向量加法的正确性，如下图：

上图我们建立直角坐标系和向量oP2（x2,y2），oP(x1,y1)，那么我们继续建立oQ(x1+x2,y1+y2)，通过推算，我们可以看出oP2 Q P为平行四边形，所以说平行四边形对角线就是向量和。

3.向量相减

向量相减a-b其实我们可以看作a+(-b)，b与-b的关系我们可以看作是反向的

假如说河水的流向相反了，那么船就向左偏移了，这个应该很好理解。

4.向量分配律

γ(a+b) = γa+γb

分配律在数学上很好证明，因为x为标量数值，所以建立直角坐标系时候x和y分量乘上γ就能证明了，如下图：

物理上的意义也很好解释：

比如两辆车从一个斜坡上开下来，一个速度是V，一个速度是2V，那么一段时间后他们分别跑了S和2S的山坡距离，如下图：

很方便就看出其中的“等比性”了