机器学习系列-生成模型和判别模型

前言

监督学习模型可以分为生成模型(generative model)和判别模型(discriminative model)

1.生成模型和判别模型

判别模型由数据直接学习决策函数$f(x)$或者条件概率分布$P(y|x)$作为预测的模型，即判别模型。判别方法关心的是对给定输入 x，应该预测什么样的输出 y。
比如说要确定一只羊是山羊还是绵羊，用判别模型的方法是先从历史数据中学习到模型，然后通过提取这只羊的特征来预测出这只羊是山羊的概率，还是绵羊的概率。

生成模型由数据学习输入和输出联合概率分布$P(x,y)$，然后求出后验概率分布$P(y|x)$作为预测的模型，即生成模型。这里以朴素贝叶斯为例，我们要求的目标可以通过：
$P(x,y)=P(x|y)P(y)$
求出输入输出的联合概率分布，然后通过贝叶斯公式：
$P(y|x)=\frac{P(x|y)P(y)}{P(x)}$
求出后验概率分布。

对于上面的例子我们换种思路，我们可以根据山羊的特征首先学习出一个山羊模型，然后根据绵羊的特征学习出一个绵羊模型。
然后从这只羊中提取特征，放到山羊模型中看概率是多少，再放到绵羊模型中看概率是多少，哪个大就是哪个。
由于我们关注的是 y 的离散值结果中哪个概率大（比如山羊概率和绵羊概率哪个大），而并不是关心具体的概率，因此上式改写为：
$argma{x}_{y}P(y|x)=argma{x}_y\frac{P(x|y)P(y)}{P(x)}=argma{x}_{y}P(x|y)P(y)$
其中 $P(x|y)$称为条件概率(class-conditional probability)，或称为“似然”(likelihood)， $P(y)$称为先验(prior)概率。
$P(x)$是用于归一化的"证据"因子。对于给定样本 x，证据因子$P(x)$ 与类标记无关，因此估计$P(y|x)$的问题就转化为如何基于训练数据来估计先验$P(y)$和似然$P(x|y)$。

不管是生成式模型还是判别式模型，它们最终的判断依据都是条件概率，但是生成式模型先计算了联合概率，再由贝叶斯公式计算得到条件概率。因此，生成式模型可以体现更多数据本身的分布信息，其普适性更广。

举个例子：

假设现在有一个分类问题，X是特征，Y是类标记。用判别式模型学习一个条件概率分布$P(Y|X)$，用生成式模型学习一个联合概率分布 $P(x,y)$。用一个简单的例子来说明这个问题。假设X有两个取值（1或2），Y有两类（0或1），有如下训练样本（1，0）、（1，0）、（1，1）、（2，1）。

则学习到的条件概率分布（判别式模型）如下：
$P(y=0|x=1)=\frac{2}{3}$

而学习到的联合概率分布（生成式模型）如下：

1. 计算特征$X$的频率分布：
   $P(x=1)=\frac{3}{4}$
   $P(x=2)=\frac{1}{4}$
2. 计算标签$Y$的频率分布：
   $P(y=0)=\frac{2}{4}$
   $P(y=1)=\frac{2}{4}$

$P(x=1,y=0)=P(x=1|y=0)P(y=0)=1\ast \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
$P(x=2,y=0)=P(x=2|y=0)P(y=0)=0\ast \frac{1}{2}=0$
$P(x=1,y=1)=P(x=1|y=1)P(y=1)=\frac{1}{2}\ast \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$
$P(x=2,y=1)=P(x=2|y=1)P(y=1)=\frac{1}{2}\ast \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$

在实际分类问题中，判别式模型可以直接用来判断特征的类别情况；而生成式模型需要加上贝叶斯公式
$P(y=0|x=1)=P(x=1,y=0)/P(x=1)=\frac{1}{2}/\frac{3}{4}=\frac{2}{3}$
然后应用到分类中。但是，生成式模型的概率分布可以有其他应用，就是说生成式模型更一般更普适。不过判别式模型更直接，更简单。两种方法目前交叉较多。由生成式模型可以得到判别式模型，但由判别式模型得不到生成式模型。

2.常见的生成模型和判别模型

常见的判别模型有

• 线性回归
• 逻辑回归
• 线性判别分析(Linear Discriminant Analysis，LDA)
• 支持向量机(SVM)
• K最近邻(KNN)
• 条件随机场(CRF)
• 神经网络
• 区分度训练
• …

常见的生成模型有

• 隐马尔科夫模型(HMM)
• 马尔科夫随机场(Markov Random Fields)
• 朴素贝叶斯模型(Naive Bayes)
• 高斯混合模型(Gaussian Mixture Model，GMM)
• 狄利克雷分布模型(Latent Dirichlet Allocation，LDA)
• 受限玻尔兹曼机(Restricted Boltzmann Machine)
• 深度信念网络(DBN)
• …

3.判别式模型和生成式模型的优缺点

• 判别式模型是在寻找一个决策边界，通过该边界来将样本划分到对应类别。
• 生成式模型则不同，它学习了每个类别的边界，包含了更多信息，可以用来生成样本。

ps：生成式模型的学习收敛速度更快，当样本容量增加时，学习到的模型可以更快的收敛到真实模型，当存在隐变量时，依旧可以用生成式模型，此时判别式方法就不行了。