【概率论】斗地主中出现炸弹的几率

这篇文章我们分析一下一把斗地主中出现至少一个炸弹的几率（即任何人接到大于等于1个炸弹的几率）。设事件$A$为出现至少一个炸弹，$B$为地主（$20$张牌）接到至少一个炸弹，$C$为农民甲（$17$张牌）接到至少一个炸弹，$D$为农民乙（$17$张牌）接到至少一个炸弹。则$P(A)=P(B)+P(C)+P(D)-P(BC)-P(BD)-P(CD)+P(BCD)$。

假设$54$张牌随机排列，分成三堆，前$20$张给地主，后面两堆各$17$张给农民。

一、地主接到至少一个炸弹的概率

接到炸弹分为两种情况：接到双王和接到普通炸弹（四张一样的牌）。

1. 地主接到双王的概率

首先，两个王的位置总共有$A_{54}^2=54\times 53$种可能性。而地主接到双王就是两张王都在前$20$张，因此有$A_{20}^2=20\times 19$种可能性。故$P(\text{地主接到双王})=\frac{A_{20}^2}{A_{54}^2}=\frac{190}{1431}\approx 13.28\%$。

2. 地主没接到双王，但接到普通炸弹的概率

此时考虑样本空间为所有可能的排列，共$54!$种可能性。

(1) 地主接到一个王

考虑地主有一个普通炸弹，即存在一种牌，它四张的位置都在前$20$个以内。这个炸弹是哪一种牌，总共有$13$种可能性（A、2、3、…、Q、K），而这四张牌在前$20$张牌中的排列方式有$A_{19}^4=\frac{19!}{15!}$种（注意王占用了一张），两个王分别有$20$、$34$种位置，除此之外的其他牌有$48!$种排列方式，故共有$13\times A_{19}^4\times 2\times 20\times 34\times 48!$种（乘$2$是因为两个王可以互换位置）。
概率为$\frac{13\times A_{19}^4\times 2\times 20\times 34\times 48!}{54!}$。

(2) 地主没接到王

考虑地主有一个普通炸弹，有$13\times A_{20}^4$种可能性，王有$A_{34}^2$种可能性，其他牌有$48!$种可能性，共有$13\times A_{20}^4\times A_{34}^2\times 48!$种可能性。
概率为$\frac{13\times A_{20}^4\times A_{34}^2\times 48!}{54!}$。

综上，地主没接到双王但接到普通炸弹的概率为$\frac{13\times A_{19}^4\times 2\times 20\times 34\times 48!}{54!}+\frac{13\times A_{20}^4\times A_{34}^2\times 48!}{54!}=\frac{323}{2385}\approx 13.54\%$。

小计：地主接到至少一个炸弹的概率为$P(A)=13.28\%+13.54\%=26.82\%$。

二、某个农民接到至少一个炸弹的概率

1. 农民接到一个双王的概率

与地主类似，只不过牌的张数从$20$张变为$17$张，因此$P(\text{某个农民接到双王})=\frac{A_{17}^2}{A_{54}^2}=\frac{136}{1431}\approx 9.50\%$。

2. 农民没接到双王，但接到普通炸弹的概率

样本空间共$54!$种可能性。

(1) 农民接到一个王

类似地，炸弹有$13$种牌可取，四张牌的位置都有$16$个，两个王分别有$17$和$37$种可能性，所以农民接到一个王、至少一个炸弹的可能性有$13\times A_{16}^4\times 2\times 17\times 37\times 48!$。

(2) 农民没接到王

炸弹有$13\times A_{17}^4$种可能性，王有$A_{37}^2$种可能性，其他牌有$48!$种可能性，共有$13\times A_{17}^4\times A_{37}^2\times 48!$种可能性。

综上，农民没接到双王但接到普通炸弹的概率为$\frac{13\times A_{16}^4\times 2\times 17\times 37\times 48!+13\times A_{17}^4\times A_{37}^2\times 48!}{54!}=\frac{4588}{50085}\approx 9.16\%$。

小计：某个农民接到至少一个炸弹的概率为$P(B)=P(C)=9.50\%+9.16\%=18.66\%$。

三、地主和一个农民同时接到至少一个炸弹

接下来我们只给出每种情况对应的排列数，计算概率时除以$54!$即可。

1. 地主接到双王，农民接到普通炸弹

双王的位置数：$A_{20}^2$
普通炸弹的位置数：$13\times A_{17}^4$
其他牌位置可能性：$48!$
总计：$A_{20}^2\times 13\times A_{17}^4\times 48!$

2. 地主接到普通炸弹，农民接到双王

双王的位置数：$A_{17}^2$
普通炸弹的位置数：$13\times A_{20}^4$
其他牌位置可能性：$48!$
总计：$A_{17}^2\times 13\times A_{20}^4\times 48!$

3. 另外一个农民接到双王

双王的位置数：$A_{17}^2$
两个普通炸弹的位置数：$13\times A_{20}^4\times 12\times A_{17}^4$
其他牌位置可能性：$44!$
总计：$A_{17}^2\times 13\times A_{20}^4\times 12\times A_{17}^4\times 44!$

4. 地主和农民各接到一个王

两个王的位置数：$2\times 20\times 17$
两个普通炸弹的位置数：$13\times A_{19}^4\times 12\times A_{16}^4$
其他牌位置可能性：$44!$
总计：$2\times 20\times 17\times 13\times A_{19}^4\times 12\times A_{16}^4\times 44!$

5. 地主和另外一个农民各接到一个王

两个王的位置数：$2\times 20\times 17$
两个普通炸弹的位置数：$13\times A_{19}^4\times 12\times A_{17}^4$
其他牌位置可能性：$44!$
总计：$2\times 20\times 17\times 13\times A_{19}^4\times 12\times A_{17}^4\times 44!$

6. 两个农民各接到一个王

两个王的位置数：$2\times 17\times 17$
两个普通炸弹的位置数：$13\times A_{20}^4\times 12\times A_{16}^4$
其他牌位置可能性：$44!$
总计：$2\times 17\times 17\times 13\times A_{20}^4\times 12\times A_{16}^4\times 44!$

小计：$P(BC)=P(BD)=\frac{4340132}{75798639}=5.73\%$

四、两个农民同时接到至少一个炸弹

1. 地主接到双王，两个农民各接到一个普通炸弹

双王的位置数：$A_{20}^2$
普通炸弹的位置数：$13\times A_{17}^4\times 12\times A_{17}^4$
其他牌位置可能性：$44!$
总计：$A_{20}^2\times 13\times A_{17}^4\times 12\times A_{17}^4\times 44!$

2. 一个农民接到双王（×2）

双王的位置数：$A_{17}^2$
普通炸弹的位置数：$13\times A_{17}^4$
其他牌位置可能性：$48!$
总计：$A_{17}^2\times 13\times A_{17}^4\times 48!$

3. 地主和一个农民各接到一个王（×2）

两个王的位置数：$2\times 20\times 17$
普通炸弹的位置数：$13\times A_{16}^4\times 12\times A_{17}^4$
其他牌位置可能性：$44!$
总计：$2\times 20\times 17\times 13\times A_{16}^4\times 12\times A_{17}^4\times 44!$

4. 两个农民各接到一个王

两个王的位置数：$2\times 17\times 17$
普通炸弹的位置数：$13\times A_{16}^4\times 12\times A_{16}^4$
其他牌位置可能性：$44!$
总计：$2\times 17\times 17\times 13\times A_{16}^4\times 12\times A_{16}^4\times 44!$

小计：$P(CD)=\frac{115600}{3609459}=3.20\%$

五、地主、两个农民都接到至少一个炸弹的概率

1. 地主接到双王

双王的位置数：$A_{20}^2$
普通炸弹的位置数：$13\times A_{17}^4\times 12\times A_{17}^4$
其他牌位置可能性：$44!$
总计：$A_{20}^2\times 13\times A_{17}^4\times 12\times A_{17}^4\times 44!$

2. 一个农民接到双王（×2）

双王的位置数：$A_{17}^2$
普通炸弹的位置数：$13\times A_{20}^4\times 12\times A_{17}^4$
其他牌位置可能性：$44!$
总计：$A_{17}^2\times 13\times A_{20}^4\times 12\times A_{17}^4\times 44!$

3. 地主和一个农民各接到一个王（×2）

两个王的位置数：$2\times 20\times 17$
普通炸弹的位置数：$13\times A_{19}^4\times 12\times A_{16}^4\times 11\times A_{17}^4$
其他牌位置可能性：$40!$
总计：$2\times 20\times 17\times 13\times A_{19}^4\times 12\times A_{16}^4\times 11\times A_{17}^4\times 40!$

4. 两个农民各接到一个王

两个王的位置数：$2\times 17\times 17$
普通炸弹的位置数：$13\times A_{20}^4\times 12\times A_{16}^4\times 11\times A_{16}^4$
其他牌位置可能性：$40!$
总计：$2\times 17\times 17\times 13\times A_{20}^4\times 12\times A_{16}^4\times 11\times A_{16}^4\times 40!$

小计：$P(BCD)=\frac{61649072}{5402951505}=1.14\%$

总结

一把斗地主中出现至少一个炸弹的概率为： P ( A ) = P ( B ) + P ( C ) + P ( D ) − P ( B C ) − P ( B D ) − P ( C D ) + P ( B C D ) = 1919 7155 + 2 × 3116 16695 − 2 × 4340132 75798639 − 115600 3609459 + 61649072 5402951505 = 1014986778559 2004495008355 = 50.64 %

$$\begin{aligned}P(A)&=P(B)+P(C)+P(D)-P(BC)-P(BD)-P(CD)+P(BCD)\\&=\frac{1919}{7155}+2\times\frac{3116}{16695}-2\times\frac{4340132}{75798639}-\frac{115600}{3609459}+\frac{61649072}{5402951505}\\&=\frac{1014986778559}{2004495008355}\\&=50.64\%\end{aligned}$$ P(A)​=P(B)+P(C)+P(D)−P(BC)−P(BD)−P(CD)+P(BCD)=71551919​+2×166953116​−2×757986394340132​−3609459115600​+540295150561649072​=20044950083551014986778559​=50.64%​

P.S. 这篇文章写得比较仓促，若有错误恳请大家指出~