数据结构中的平衡搜索树 --- AVL树是怎样进行旋转处理的？（平衡因子版本）

目录

前言

        搜索二叉树

AVL树

节点的定义

插入

旋转

前言

搜索二叉树

搜索二叉树 又称 二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:

• 若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值
• 若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值
• 它的左右子树也分别为二叉搜索树

示例：

具体可以查看搜索二叉树

AVL树

template<class K, class V>
class AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode<K,V>* _left;	//左子树节点
	AVLTreeNode<K, V>* _right;	//右子树节点
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;	//父节点
	pair<K, V> _kv;
	int _bf; //balance factor :平衡因子
 
	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		,_kv(kv)
		,_bf(0)
	{}
};

• 按照二叉搜索树的方式插入新节点
•  调整节点的平衡因子

template<class K,class V>
class AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
	bool insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		//_root为空
		if (_root == nullptr) 
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}
 
		//_root不为空
		Node* cur = _root;
		Node* parent = nullptr;   //记录cur的父节点，方便进行链接
 
		while (cur)
		{
			if (kv.first < cur->_kv.first)  //插入的值小于存储的值
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if(kv.first > cur->_kv.first) //插入的值大于存储的值
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				return false; //相等，则插入失败
			}
        }
 
			//当前位置为空，插入的值与原本的值不相等，进行链接
			cur = new Node(kv);
			if (kv.first < parent->_kv.first)
			{
				parent->_left = cur;
			}
			else
			{
				parent->_right = cur;
			}
 
			cur->_parent = parent;  //需要注意，进行链接
 
 
			//链接之后，此时需要更新平衡因子
 
			//.......
 
			return true;
		
		
	}
 
private:
	Node* _root = nullptr;
 
};

此时怎样调整节点的平衡因子呢？

观察一下平衡因子的性质： 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1）

                                                                        而且平时我们习惯使用右子树高度减去左子树高度等于根

可以得出：如果新增节点是右子树，那么父节点需要++；如果新增节点是左子树，那么父节点需要 --

cur = parent->_right;     parent->_bf++;

cur = parent->_left;       parent->_bf--;

示例1：

示例2：

那么此时产生的新问题是，当父节点更新后，要不要继续向上更新？或者什么决定了要不要继续向上更新？？？

观察示例1与示例2可以得出，如果parent节点的高度发生了变化，那么是需要继续更新的，如果parent的高度没有发生变化，那么就不需要继续更新。

• 情况1：parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1      ---    需要继续向上更新，因为说明插入之前 parent->_bf == 0  ，表示插入之前父节点两边的高度相等，现在有一边插入了一个新节点，此时高度发生了改变，所以需要继续向上更新。

• 情况2：parent->_bf == 0     ---    不用向上更新，因为说明插入之前 parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1，表示插入之前父节点两边的高度不相等，现在矮的一边插入了一个新节点，此时高度平衡，所以不用向上更新。

• 情况3：parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2   ---   所在子树高度不平衡，需要进行旋转处理

template<class K,class V>
class AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
	bool insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		//_root为空
		if (_root == nullptr) 
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}
 
		//_root不为空
		Node* cur = _root;
		Node* parent = nullptr;   //记录cur的父节点，方便进行链接
 
		while (cur)
		{
			if (kv.first < cur->_kv.first)  //插入的值小于存储的值
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if(kv.first > cur->_kv.first) //插入的值大于存储的值
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				return false; //相等，则插入失败
			}
         }
 
			//当前位置为空，插入的值与原本的值不相等，进行链接
			cur = new Node(kv);
			if (kv.first < parent->_kv.first)
			{
				parent->_left = cur;
			}
			else
			{
				parent->_right = cur;
			}
 
			cur->_parent = parent;  //需要注意，进行链接
 
 
			//链接之后，此时需要更新平衡因子
 
			while (parent)
			{
				if (cur == parent->_right)
				{
					parent->_bf++;
				}
				else
				{
					parent->_bf--;
				}
 
				if (parent->_bf == 0)
				{
					break; 
				}
				else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
				{
					//继续向上更新
					parent = parent->_parent;
					cur = cur->_parent;
				}
				else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
				{
					//需要进行旋转处理
					//........
				}
				else
				{
					//程序走到这里说明问题很严重，直接断言
					assert(false);
				}
 
			}
 
			return true;
		
	}
 
private:
	Node* _root = nullptr;
};

那么什么情况下会出现旋转处理？？？

1.更新平衡因子：如果更新完成，平衡因子没有出现问题 | _bf l <= 1，平衡结构没有受到影响，不需要处理
 

2.更新平衡因子：如果更新完成，平衡因子出现问题 | _bf | > 1，平衡结构受到影响，需要处理(旋转)

AVL树的旋转

• 1.让这棵子树平衡
• 2.降低这棵子树的高度

• ① b变成了30的右边
• ② 30变成60的左边
• ③ 60变成整棵树的根
   

	//左单旋
	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
 
		parent->_right = subRL;
		if (subRL)
			subRL->_parent = parent;
 
		//提前记录祖先节点
		Node* pparent = parent->_parent;
 
		subR->_left = parent;
		parent->_parent = subR;
 
		//值得注意的是，parent节点不一定为根节点，也就是旋转的可能是一棵子树而不是整棵树
		if (pparent == nullptr) //意味着parent节点是根节点
		{
			_root = subR;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			//判断parent 在 祖先节点的左还是右
			if (pparent->_right == parent)
			{
				pparent->_right = subR;
			}
			else
			{
				pparent->_left = subR;
			}
 
			subR->_parent = pparent;  //更改subR的父节点
		}
 
		//注意：一定要更新平衡因子
		parent->_bf = subR->_bf = 0;
	}

代码：

//右单旋
	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
 
		parent->_left = subLR;
		if (subLR)
			subLR->_parent = parent;
 
		//提前记录祖先节点
		Node* pparent = parent->_parent;
 
		subL->_right = parent;
		parent->_parent = subL;
 
		if (parent == _root) 
		{
			_root = subL;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			//判断parent 在 祖先节点的左还是右
			if (pparent->_right == parent)
			{
				pparent->_right = subL;
			}
			else
			{
				pparent->_left = subL;
			}
 
			subL->_parent = pparent;  //更改subR的父节点
		}
 
		//注意：一定要更新平衡因子
		parent->_bf = subL->_bf = 0;
	}

	void RotateLR(Node* parent)
	{
		RotateL(parent->_left);  //左旋
		RotateR(parent)；		 //右旋
	}

//左右双旋
	void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
 
		//因为双旋过后 _bf 都会被修改为0，所以需要提前记录
		int bf = subLR->_bf;
 
		RotateL(parent->_left);  //左旋
		RotateR(parent);		 //右旋
 
		if (bf == 0)
		{
			parent->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			parent->_bf = 1;
			subL->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			parent->_bf = 0;
			subL->_bf = -1;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);  //依旧直接断言，走到这里说明程序出现严重错误
		}
 
	}

（参考左右双旋）

抽象图：

代码：

//右左双旋
	void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
 
		int bf = subRL->_bf;
 
		RotateR(parent->_right);  
		RotateL(parent);		 
 
			if (bf == 0)
			{
				parent->_bf = 0;
				subR->_bf = 0;
				subRL->_bf = 0;
			}
			else if (bf == -1)
			{
				parent->_bf = 0;
				subR->_bf = 1;
				subRL->_bf = 0;
			}
			else if (bf == 1)
			{
				parent->_bf = -1;
				subR->_bf = 0;
				subRL->_bf = 0;
			}
			else
			{
				assert(false);  
			}
	}

那么什么时候左旋？什么时候右旋，什么时候双旋呢？？？

观察上面4种旋转的情况可以知道：

• 左子树高 - 右旋 
• 右子树高 - 左旋   
• 左子树高，左子树的右孩子高 - 左右双旋
• 右子树高，右子树的左孩子高 - 右左双旋

最后附上完整代码以及测试一棵树是否是AVL树的方法：

                                                                                                                AVLTree.h

#pragma once
#include <iostream>
#include <assert.h>
#include <string>
 
using namespace std;
 
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode<K,V>* _left;	//左子树节点
	AVLTreeNode<K, V>* _right;	//右子树节点
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;	//父节点
	pair<K, V> _kv;
	int _bf; //balance factor :平衡因子
 
	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		,_kv(kv)
		,_bf(0)
	{}
};
 
template<class K,class V>
class AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
	void InOrder()
	{
		_Inorder(_root);
		cout << endl;
	}
 
	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		//_root为空
		if (_root == nullptr) 
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}
 
		//_root不为空
		Node* cur = _root;
		Node* parent = nullptr;   //记录cur的父节点，方便进行链接
 
		while (cur)
		{
			if (kv.first < cur->_kv.first)  //插入的值小于存储的值
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if (kv.first > cur->_kv.first) //插入的值大于存储的值
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				return false; //相等，则插入失败
			}
 
		}
 
		//当前位置为空，插入的值与原本的值不相等，进行链接
		cur = new Node(kv);
		if (kv.first < parent->_kv.first)
		{
			parent->_left = cur;
		}
		else
		{
			parent->_right = cur;
		}
 
		cur->_parent = parent;  //需要注意，进行链接
 
 
		//链接之后，此时需要更新平衡因子
 
		while (parent)
		{
			if (cur == parent->_right)
			{
				parent->_bf++;
			}
			else
			{
				parent->_bf--;
			}
 
			if (parent->_bf == 0)
			{
				break; 
			}
			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
			{
				//继续向上更新
				parent = parent->_parent;
				cur = cur->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
			{
				//需要进行旋转处理 --- 1.降低子树的高度  2.继续保持平衡
				if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
				{
					//左旋
					RotateL(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
				{
					//右旋
					RotateR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
				{
					//左右双旋 -  根的左子树高 左子树的右子树高 
					RotateLR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
				{
					//右左双旋 - 根的右子树高 右子树的左子树高
					RotateRL(parent);
				}
				else
				{
					assert(false);
				}
 
				break;  //旋转之后是可以直接跳出循环的，旋转之后（不管是整棵树还是子树）都是平衡的
					
			}
			else
			{
				//程序走到这里说明问题很严重，直接断言
				assert(false);
			}
 
		}
 
		return true;
	}
 
 
	//判断是否为AVL树
	bool IsBalance()
	{
		return _IsBalance(_root);
	}
 
		
 
protected:
	void _Inorder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return;
 
		_Inorder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << " ";
		_Inorder(root->_right);
	}
 
 
	//左单旋
	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
 
		parent->_right = subRL;
		if (subRL)
			subRL->_parent = parent;
 
		//提前记录祖先节点
		Node* pparent = parent->_parent;
 
		subR->_left = parent;
		parent->_parent = subR;
 
		//值得注意的是，parent节点不一定为根节点，也就是旋转的可能是一棵子树而不是整棵树
		if (pparent == nullptr) //意味着parent节点是根节点
		{
			_root = subR;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			//判断parent 在 祖先节点的左还是右
			if (pparent->_right == parent)
			{
				pparent->_right = subR;
			}
			else
			{
				pparent->_left = subR;
			}
 
			subR->_parent = pparent;  //更改subR的父节点
		}
 
		//注意：一定要更新平衡因子
		parent->_bf = subR->_bf = 0;
	}
 
	//右单旋
	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
 
		parent->_left = subLR;
		if (subLR)
			subLR->_parent = parent;
 
		//提前记录祖先节点
		Node* pparent = parent->_parent;
 
		subL->_right = parent;
		parent->_parent = subL;
 
		if (parent == _root) 
		{
			_root = subL;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			//判断parent 在 祖先节点的左还是右
			if (pparent->_right == parent)
			{
				pparent->_right = subL;
			}
			else
			{
				pparent->_left = subL;
			}
 
			subL->_parent = pparent;  //更改subR的父节点
		}
 
		//注意：一定要更新平衡因子
		parent->_bf = subL->_bf = 0;
	}
 
 
 
	//左右双旋
	void RotateLR(Node* parent)
	{
		//记录修改平衡因子的位置
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
 
		//因为双旋过后bf都会被修改为0，所以需要提前记录subLR的平衡因子
		int bf = subLR->_bf;
 
		RotateL(parent->_left);
		RotateR(parent);
 
		//分三种情况
		if (bf == 1)
		{
			parent->_bf = 0;
			subL->_bf = -1;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			parent->_bf = 1;
			subL->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			parent->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else
		{
			//平衡因子出现其他值直接断言 - 防止出现其他问题
			assert(false);
		}
	}
 
	//右左双旋
	void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
 
		int bf = subRL->_bf;
 
		RotateR(parent->_right);  //右旋
		RotateL(parent);		  //左旋
 
		if (bf == 0)
		{
			parent->_bf = 0;
			subR->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			parent->_bf = 0;
			subR->_bf = 1;
			subRL->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			parent->_bf = -1;
			subR->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}
 
	//计算高度
	int _Height(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return 0;
 
		int leftH = _Height(root->_left);  //左子树高度
		int rightH = _Height(root->_right); //右子树高度
 
		return leftH > rightH ? leftH + 1 : rightH + 1;  //返回的是整棵树的高度
	}
 
	//判断是否是AVL树 - 子函数
	bool _IsBalance(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return true;
 
		int left_h = _Height(root->_left);
		int right_h = _Height(root->_right);
 
		//检查平衡因子
		if (right_h - left_h != root->_bf)
		{
			cout << root->_kv.first << "节点平衡因子异常" << endl;
			return false;
		}
 
		//判断左右子树之间的差是否 < 2  abs:求绝对值
		return abs(left_h - right_h) < 2
			&& _IsBalance(root->_left)
			&& _IsBalance(root->_right);
	}
 
	
protected:
	Node* _root = nullptr;
};
 
 
 
void Test_AVLTree1()
{
	int arr1[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };
	int arr2[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };
 
	AVLTree<int, int> t1;
 
	for (auto e : arr1)
	{
		t1.Insert(make_pair(e, e));
		cout << e << "插入:" << t1.IsBalance() << endl;  //插入进行检查
	}
 
	t1.InOrder();
	cout << t1.IsBalance() << endl;
}