等额本金和等额本息两种贷款方式的比较_对比相同本金a,相同年利率 i,n年还款期,等额本金和等额本息两种还款方式下的

等额本金和等额本息两种贷款方式的对比

本文介绍两种还款方式：等额本金、等额本息。通过分析认为等额本金的偿还方式更加划算。
等额本金：每个月偿还相同本金分额，并且支付上个月剩余本金产生的利息。
等额本息：每个月偿还相同数目的款项，按照复利计算，最终数目和本金按照福利计算数目相同。
假设需要贷款金额为b，贷款月利率为x，一共贷款n月，等本息还款时月还款额为a。

• 等额本金还款
  每月还款本金$\frac{b}{n}$，另外还要还每月产生的利息。

所需偿还的总本金为b，总利息为$\frac{n+1}{2}bx$

• 等额本息还款
  n月一共还款产生的本金和利息推导如下：
  第一个月还的款a到n个月后产生的复利和本金为$a(1+x)^{(n-1)}$
  第k个月还的款a到n个月后产生的复利和本金为$a(1+x)^{(n-k)}$
  n个月还款一共产生的复利和本金为
  

  $$a(1+x)^{(n-1)}+\cdots+a(1+x)^{(n-k)}+\cdots+a(1+x)^0=\frac{a[(1+x)^n-1]}{x}$$
  贷款b在n个月内产生的复利和本金为
  
  $$b(1+x)^n$$
  解下面方程：
  
  $$\frac{a[(1+x)^n-1]}{x}=b(1+x)^n$$
  得出
  
  $$a=\frac{(1+x)^nbx}{(1+x)^n-1}$$
  按照等额本息还款需要偿还利息为$b(1+x)^n-b$

• 各自优势分析
  当下面等式成立时，选用等本金偿还方式，因为其产生的利息少。
  

  $$b(1+x)^n-b>\frac{n+1}{2}bx$$
  由泰勒展开式得$(1+x)^n\approx=1+nx$（其中x数值很小，因为其是月利率，年利率$6\%$时$x=0.005$,所以该近似还是可靠的）,带入上面不等式得出$n>\frac{n+1}{2}$,很明显该不等式在$n>1$恒成立，只有$n=1$两边才会相等。

• 结论
  在现实生活中，选择等额本金偿还方式更加划算。