python小波包分解_小波包变换（Wavelet Packet Transform）的学习笔记

对于一个连续的周期信号，可以将其分解为一组频率不同的三角函数信号的线性组合，这就是傅里叶级数的本质，将信号从时域投影到频域中的不同频段上来完成分解。

当这个周期信号的周期趋近于无穷大时，傅里叶级数就变成了傅里叶变换。此时的信号本质上是一个连续非周期信号，傅里叶变换的意义就在于对其进行分解，同样也是以一组三角函数作为正交基，并通过这组三角函数基的线性组合来表示原信号。数学表达为：

由于三角函数是一个无限长的信号，在时域上不具有局部性，因此以其作为正交基对信号进行拟合时，具有以下两个不足：第一，对于突变信号，如阶跃信号或尖峰信号，其需要大量的三角函数基进行组合才能完成较好的信号拟合；第二，由于三角函数不具备在时域上的局部性，因此在对信号进行傅里叶变换时，仅仅只能获取到信号在频域上的分布信息，并不能获取到这些不同频率的信号分量在时域上出现的位置。因此傅里叶变换对于非平稳信号的分解会遗失其在时域上的变化信息。

小波变换就是为了解决对非平稳信号的分解问题而产生的数学方法。相比于傅里叶变换使用一组无限长的三角函数基进行信号拟合，小波变换使用的是一组正交的、迅速衰减的小波函数基进行信号拟合。这种小波函数基可通过其尺度变量和平移变量，获得不同的频率和时间位置。因此在利用这种小波函数基对信号进行分解时，可以用较少的小波函数基就拟合出突变信号(稀疏编码特性)，同时也能获得不同频率的信号分量在时域上的出现位置。

用于生成一组不同频率和时移的小波函数的小波函数

，称为基本小波(Basic Wavelet)，由其生成的一组小波函数，是该基本小波的一个小波族(Wavelet Family)，表示为：

，其中

为尺度参数，通过伸缩控制小波的尺度(频率)，

为平移参数，通过移位控制小波在时域中的出现位置。这两个参数的作用顺序是先作平移，再作伸缩。对这一族小波函数进行归一化，即得到一组小波函数基。

可进行小波变换的对象是平方可积的信号，也即是位于希尔伯特空间中的一个函数。希尔伯特空间保证了在空间中的每一个函数，都可由该空间中的其他函数线性组合得到。

小波变换值，也即是用于拟合原始信号的小波函数基的系数，可通过计算原始信号与各小波函数基的内积得到。其意义为原始信号在各个小波函数基上的投影值，投影值越大，说明对应的小波信号所携带的原始信号的特征信息的比例越大。数学表达如下：

其中，

表示

的共轭函数。

在实际应用中，由于计算机的处理对象为离散数据，因此在使用小波变换时，一般指的都是离散小波变换。因此对于上式，可写成离散形式：

其中，

表示

的共轭函数。

从数学的角度理解，在小波变换中，一个位于希尔伯特空间中的函数，可以分解成一个尺度函数和一个小波函数，其中尺度函数对应原始函数