自然语言处理——信息论基础_信息论对于自然语言处理的影响

1. 熵的定义

关于熵，又称为自信息，描述描述一个随机变量的不确定性的数量。随机变量的熵越大，不确定性越大，所表示含有的信息量也就越大，正确估值的可能性就越小。

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1.1 熵

对于离散型随机变量X，其概率分布满足p(x) = P(X=x),x属于X，则X的熵H(X)为：
$$H(X)=-\sum _{x\in X}p(x)lo{g}_{2}p(x)$$
熵的单位为二进制位比特（bit），我们约定0log0 = 0。

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1.2 联合熵

如果X,Y是一对离散型的随机变量，X,Y~p(x,y),X,Y的联合熵H(X,Y)为：
$$H(X,Y)=-\sum _{x\in X}\sum _{y\in Y}p(x,y)lo{g}_{2}p(x,y)$$
关于联合熵，可以理解为描述一对随机变量平均所需要的的信息量。

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1.3 条件熵

在给定随机变量X的情况下，随机变量Y的条件熵定义为：
$$\begin{gathered} H(Y|X)=\sum _{x\in X}p(x)H(Y|X=x) \\ =\sum _{x\in X}p(x)[-\sum _{y\in Y}p(y|x)lo{g}_{2}p(y|x)] \\ =-\sum _{x\in X}\sum _{y\in Y}p(x,y)lo{g}_{2}p(y|x) \end{gathered}$$

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关于熵，联合熵，条件熵三者之间的关系，有连锁规则：
$$\begin{gathered} H(X,Y)=H(X)+H(Y|X) \\ =H(Y)+H(X|Y) \end{gathered}$$

值得一提的是，H(X|Y) 并不等于 H(Y|X)，因为在给定X（Y）的情况下，描述Y（X）所需要的信息量并不相等

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2. 信息论基础

2.1 熵率

对于一条长度为n的信息，每一个字符or字的熵描述为熵率：
$$\begin{gathered} H_{rate}=\frac{1}{n}H(X_{1n}) \\ =-\frac{1}{n}\sum _{x_{1n}}p(x_{1n})lo{g}_{2}p(x_{1n}) \end{gathered}$$
其中X_1n表示随机变量序列(X1, … Xn)
举例如下：

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2.2 相对熵

relative entropy ，或Kullback - Leibler divergence，即KL距离

相对熵用于衡量两个随机分布的差距。当随机分布相同时，其相对熵为0；当两个随机分布的差别增加时，相对熵也随之增加。
如下图所示：

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2.3 交叉熵

cross entropy
如果随机变量X~p(x),q(x)用于近似p(x)的概率分布，则随机变量X和模型q之间的交叉熵定义为：

交叉熵用于衡量估计模型与真实概率分布之间的差异。


在设计模型q时，我们的目的是使得交叉熵最小，从而使得模型最接近真实概率分布p(x)。

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2.4 困惑度

在设计语言模型时，我们使用困惑度来代替交叉熵来衡量该语言模型的好坏，给定语言样本l₁ⁿ = l1…ln, L的困惑度PP_q定义为：

由此，语言模型的任务转换为寻找困惑度最小的模型。

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2.5 互信息

互信息I（X ; Y）是在知道了Y的值以后X的不确定性的减少量，即Y的值透露了多少关于X的信息量。

关于互信息I（X ; Y），条件熵H(Y|X)，H(X|Y)与联合熵H(X,Y)的关系：


互信息的值越大，则表示两个事件之间的结合越紧密，越可能具有相关性，反之则断开的可能性更大。

一个例子：

2.6 双字耦合度

2.7 噪声信道模型

3. 应用实例——词汇歧义消解

每个词在表达不同的含义时其上下文往往不同，即不同的词义对应不同的上下文，我们如果将多义词的上下文进行区分，则词义应该也就能够区分了。

基于上下文分类的消歧方法

（1）基于贝叶斯分类器

（2）基于最大熵的消歧方法

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感谢大连理工大学杨亮老师，该文内容图片部分均取自授课PPT