每日OJ题_01背包③_力扣494. 目标和（dp+滚动数组优化）

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力扣494. 目标和

问题解析

解析代码

滚动数组优化代码

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力扣494. 目标和

494. 目标和

难度 中等

给你一个非负整数数组 nums 和一个整数 target 。

向数组中的每个整数前添加 '+' 或 '-' ，然后串联起所有整数，可以构造一个 表达式 ：

• 例如，nums = [2, 1] ，可以在 2 之前添加 '+' ，在 1 之前添加 '-' ，然后串联起来得到表达式 "+2-1" 。

返回可以通过上述方法构造的、运算结果等于 target 的不同 表达式 的数目。

示例 1：

输入：nums = [1,1,1,1,1], target = 3
输出：5
解释：一共有 5 种方法让最终目标和为 3 。
-1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 - 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 - 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 - 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 + 1 - 1 = 3

示例 2：

输入：nums = [1], target = 1
输出：1

提示：

• 1 <= nums.length <= 20
• 0 <= nums[i] <= 1000
• 0 <= sum(nums[i]) <= 1000
• -1000 <= target <= 1000

class Solution {
public:
    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {
 
    }
};

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问题解析

        本题可以直接用暴搜的方法解决。但是稍微用数学知识分析⼀下，就能转化成常见的背包模型问题。

        设我们最终选取的结果中，前面加 + 号的数字之和为 a ，前面加 - 号的数字之和为 b ，整个数组的总和为 sum ，于是有：

• a + b = sum
• a - b = target

        上面两个式子消去 b 之后，可以得到 a = (sum + target) / 2 ，也就是说，我们仅需在 nums 数组中选择一些数，将它们凑成和为 (sum + target) / 2 即可。问题就变成了力扣416. 分割等和子集这道题。 可以用相同的分析模式，来处理这道题。

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以某个位置为结尾，结合题目要求，定义一个状态表示：

dp[i][j] 表示：在前 i 个数中选，总和正好等于 j ，一共有多少种选法。

状态转移方程：

dp 状态转移方程分析方式，一般都是根据最后一步的状况，来分情况讨论：

• 不选择 nums[i] ：那么我们凑成总和 j 的总方案，就要看在前 i - 1 个元素中选，凑成总和为 j 的方案数。根据状态表示，此时 dp[i][j] = dp[i - 1][j] ; 。
• 选择 nums[i] ：这种情况下是有前提条件的，此时的 j 应该是大于等于 nums[i]。 因为如果这个元素都比要凑成的总和大，那选择它就没有意义。那么能够凑成总和为 j 的方案数，就要看在前 i - 1 个元素中选，能否凑成总和为 j - nums[i] 。根据 状态表示，此时 dp[i][j] = dp[i - 1][j - nums[i]] ; （j >= nums[i] ）。

        综上，两种情况如果存在的话，应该要累加在⼀起。因此，状态转移方程为： if(j >= nums[i - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]] ; else dp[i][j] = dp[i - 1][j] ;（如果多加一行一列，找原数组下标要减1）

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初始化：多加一行一列，方便初始化，由于需要用到上一行的数据，因此可以先把第一行初始化。 第一行表示不选择任何元素，要凑成目标和 j 。只有当目标和为 0 的时候才能做到，因此第一行仅需初始化第一个元素 dp[0][0] = 1。

填表顺序：根据状态转移方程，需要从上往下填写每一行，每一个的顺序是任意的。

返回值：根据状态表示，返回 dp[n][a] 的值。 其中 n 表示数组的大小， target 表示要凑成的目标和。

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解析代码

class Solution {
public:
    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {
        int sum = 0, n = nums.size();;
        for(auto& e : nums)
        {
            sum += e;
        }
        int a = (sum + target) / 2;
        if(a < 0 || (sum + target) % 2) // 小于0或者除不尽
            return 0;
 
        vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(a + 1, 0));
        dp[0][0] = 1;
        for(int i = 1; i <= n; ++i)
        {
            for(int j = 0; j <= a; ++j) // 第1列用到dp[0][0]初始化
            {
                if(j >= nums[i - 1])
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i - 1]];
                else
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            }
        }
        return dp[n][a];
    }
};

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滚动数组优化代码

背包问题基本上都是利用滚动数组来做空间上的优化：（时间也有常数的优化）

1. 利用滚动数组优化。
2. 直接在原始代码上修改。

在01背包问题中，优化的结果为：

1. 删掉所有的横坐标。
2. 修改一下 j 的遍历顺序。

（滚动数组优化代码只需能在原代码上修改就行，不用考虑什么状态表示）

class Solution {
public:
    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {
        int sum = 0, n = nums.size();;
        for(auto& e : nums)
        {
            sum += e;
        }
        int a = (sum + target) / 2;
        if(a < 0 || (sum + target) % 2) // 小于0或者除不尽
            return 0;
 
        vector<int> dp(a + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for(int i = 1; i <= n; ++i)
        {
            for(int j = a; j >= nums[i - 1]; --j) // 滚动数组优化
            {
                dp[j] += dp[j - nums[i - 1]];
            }
        }
        return dp[a];
    }
};