动态规划—— 01背包问题（一维，二维）_背包问题一维和二维

01背包问题

0-1背包问题是一个经典问题，特别是在算法和动态规划领域。问题是关于一个小偷，他有一个可以携带最大重量的背包，并且他有一组物品，其中每个物品都有自己的价值和重量。小偷希望在不超过背包所能承载的最大重量的情况下，最大化他从这些物品中获得的总价值。问题是他只能拿走一件物品一次，或者根本不能拿走 - 因此得名 0-1。

题目：

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤10000
0<vi,wi≤1000

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例：

8

思路：

1. 创建一个二维数组，其中行代表物品，列代表背包的总重量，从 0 到最大重量。
2. 将第一行第一列初始化为0，因为如果没有物品或者最大权重为0，则最大值为0。
3. 对于每个项目，迭代每个总重量。如果物品的重量小于或等于当前总重量，则取当前物品的重量加上之前物品的剩余重量值之间的最大值，以及不包括当前物品的最大值。
4. 可以获得的最大值是二维数组右下角的值。

解题步骤（二维数组）：

1 状态表示：int f[ i ][ j ];          表示前 i个物品，背包容量 j下的最大价值；

2 状态转移方程（根据最后一步的状况分条件讨论）

  f[i][j]   :不选i件物品   ------>f[i - 1][j]

             选第i件物品 ------->w[i] + f[ i-1 ][ j - v[i] ] + w[i]（注：当前的背包容量是 j ，如果把背包全部清空都放不下 i ，那么只能将 i 舍弃，即为不选 i，需要j - v[i] >= 0,此时才可装下第 i 个物品）

f[i][j] = max(f[i - 1][j],f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);

代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
 
using namespace std;
 
const int N =1010;
 
int n , m;//n表示所有物品的个数，m表示背包的容量
int v[N],w[N];//v表示物品的体积，w表示物品的价值
int f[N][N];//表示前 i个物品，背包容量 j下的最大价值；
 
 
int main ()
{
    cin >> n >> m;
    
    for(int i = 1; i <= n;i++)  cin >> v[i] >> w[i];
    
    //f[0][0~m] 均为0；且其在全局定义，所以从1开始赋值；
    for(int i = 1; i <= n ; i++)
    {
        for(int j = 1; j <= m;j ++)
        {
            if(v[i] <= j)//能放入第 i 件物品的情况下，求f[i][j]
                f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
            else//不能放入第 i 件物品的情况下，求f[i][j]
                f[i][j] = f[i - 1][j];
        }
    }
    cout << f[n][m] << endl;
    return 0;
}

优化：一维数组（滚动数组）

注意：使用一维数值优化时遍历要逆序

原因：(f[ j ] 容量为 j 的背包所背的最大价值)

  一维数组的状态转移方程为 

​​​​​​​f[ j ] = max( f[ j ] , f[ j - v[ i ]] + w[i]]  

若为正序：

当最外层循环到  i  =  i 层时 ，其上一层为  i  -  1；v[ i ] = 1 , m = 5。

当j = 3时，我们需要判断 f [ 3 ] = max ( f [ 3 ], f [ 2 ] + w [ i ] ) ;
如果此时，我们将f [ 3 ] 更新了，那么在下一个 j 循环，j = 4 时，

我们要判断 f [ 4 ] = max ( f [ 4 ], f [ 3 ] + w [ i ] ) ;

那此时，我们使用的就是刚刚被更新的f [ 3 ]，即 f [ i ] [ 2 ]，而非上一层的 f [ i-1 ] [ 2 ]，因为上一层的 f [ i-1 ] [ 2 ]已经被更新成当前层的f [ i ] [ 2 ]了.所以结果为错的。

若为逆序：

当最外层 i 循环到 i 时, v[i] = 1 , m = 5，我们会将 j 循环

当j = 4时，我们需要判断 f [ 4 ] = max ( f [ 4 ], f [ 3 ] + w [ i ] ) ;

我们此时只会更新 f [ 4 ] 的值.

在下一次判断时，我们需要判断 f [ 3 ] = max ( f [ 3 ], f [ 2 ] + w [ i ] ) ;

最终。刚刚更新的值f [ 4 ]与下一次的判断f [ 3 ]无关，因此，只需要将 j 逆序遍历，就不会影响上一层的f [j  -  v[ i ]]。

代码：

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include<iostream>
#include<algorithm>
 
using namespace std;
 
const int N = 1010;
 
int n, m;//n表示所有物品的个数，m表示背包的容量
int v[N], w[N];//v表示物品的体积，w表示物品的价值
int f[N];//表示物品的状态
int main()
{
    cin >> n >> m;
 
    for (int i = 1; i <= n; i++)  cin >> v[i] >> w[i];//输入数据
 
    //f[j] 容量为 j 的背包所背的最大价值；
    
    for (int i = 1; i <= n; i++)//遍历物品
    {
        for (int j = m; j >= v[i]; j--)
        {
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
        }
    }
    cout << f[m] << endl;
    return 0;
}