时间序列预测 —— LSTM模型

时间序列预测 —— LSTM模型

1. 引言

时间序列预测是指在给定的历史时间序列数据上，使用模型来预测未来的数值。长短时记忆网络（Long Short-Term Memory, LSTM）是一种深度学习模型，广泛应用于时间序列预测任务。本文将介绍LSTM模型的理论基础、相关公式，分析其优缺点，并通过Python实现单步预测和多步预测的LSTM模型。

2. LSTM的理论基础

LSTM是一种循环神经网络（Recurrent Neural Network, RNN）的变体，专门设计用于解决长期依赖问题。在传统的RNN中，随着时间步的增加，梯度会迅速衰减或爆炸，导致难以捕捉长期记忆。LSTM通过引入门控机制解决了这一问题。

LSTM的主要组成部分包括三个门：遗忘门、输入门和输出门。

• 遗忘门（Forget Gate）：决定需要从细胞状态中丢弃哪些信息。其输出范围在0到1之间，表示需要保留的信息比例。

• 输入门（Input Gate）：用于更新细胞状态。通过选择要更新的部分和更新的数值。

• 输出门（Output Gate）：决定从细胞状态中输出哪些信息到隐藏状态（作为下一个时间步的输入）。

LSTM的核心思想是通过这些门控制信息的流动，从而更灵活地捕获和利用时间序列中的长期依赖关系。

3. LSTM的公式

3.1 输入门

输入门的计算公式为：

i t = σ ( W i i x t + b i i + W h i h t − 1 + b h i )

$$\begin{equation} i_t = \sigma(W_{ii}x_t + b_{ii} + W_{hi}h_{t-1} + b_{hi}) \end{equation}$$ it​=σ(Wii​xt​+bii​+Whi​ht−1​+bhi​)​​

其中：

• $i_t$ 是输入门的输出。
• $x_t$ 是当前时间步的输入。
• $h_{t-1}$ 是上一时间步的隐藏状态。
• $W_{ii}$ 和 $W_{hi}$ 是输入门权重。
• $b_{ii}$ 和 $b_{hi}$ 是输入门偏置。
• $\sigma$ 是Sigmoid激活函数。

3.2 遗忘门

遗忘门的计算公式为：

f t = σ ( W i f x t + b i f + W h f h t − 1 + b h f )

$$\begin{equation} f_t = \sigma(W_{if}x_t + b_{if} + W_{hf}h_{t-1} + b_{hf}) \end{equation}$$ f